浙江大学：《数学建模概论》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 逻辑模型（9.5）物价指数问题

§9.5物价指数问题 R 怎样定义和计算物价指数 单种商品的情况 设基准年价格为D、故拉些(以上车为100价指数圄 某地区物 可社会中的商品不可能 只有一种。多种商品 的问题更为复杂P价数 零售价格指数 116 110 19511955196019631967197119761979198419841987199019941998

某地区物 价指数图 § 9.5 物价指数问题 怎样定义和计算物价指数 单种商品的情况 设基准年价格为P 0，目前价格为P 可如下定义物价指数： 0 0 ( , ) P P I P P = 社会中的商品不可能 只有一种。多种商品 的问题更为复杂

多种商品的情况 假设有两种商品,基准年价格分别为P、P,目前价格分别 为P1,P2。可采用多种平均方法来定义: >算术平均值之比: (P+P2) (P}+P2 >比值的算术平均值: P2) P2

多种商品的情况 假设有两种商品，基准年价格分别为 、 ，目前价格分别 为P1，P2。可采用多种平均方法来定义： 0 P1 0 P2 ➢ 算术平均值之比： 0 2 0 1 1 2 0 2 0 1 1 2 1 2 0 2 0 1 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( , , , ) P P P P P P P P I P P P P + + = + + = ➢ 比值的算术平均值：         = + 0 2 2 0 1 1 1 2 0 2 0 2 1 2 1 ( , , , ) P P P P I P P P P

>比值的调和平均值: 2PP (P,P2,P2P2)= PP+PP2 >比值的几何平均值: 事实上各种商品在人们生活中 假如不 所占地位不尽相同,例如,钢 琴降价20%和粮食涨价20%无 法对消

➢ 比值的调和平均值 ： 0 1 2 0 1 1 1 2 1 2 0 2 0 3 1 2 ( , , , ) P P P P P P I P P P P + = ➢ 比值的几何平均值 ： 0 2 0 1 1 2 1 2 0 2 0 4 1 ( , , , ) P P P P I P P P P = 假如存在着n种商品，可以相应地写出类似的公式。 上述方法没有区别不 同商品的重要性 事实上各种商品在人们生活中 所占地位不尽相同，例如，钢 琴降价20%和粮食涨价20%无 法对消

模型的进一步改进 引入权系数 对各种商品的比值进行加权,并允许相对权系数随时间变化 符号说明 记P0=(P,;,P)q=(q1,…,qn) P=( )q=(q12…,qn) 以P、q分别表示基准年n种商品的价格及相应的权系数 以P、q分别表示观察年n种商品的价格及相应的权系数。 物价指数(P°q°Pq)为R舶连续函数

模型的进一步改进 引入权系数 对各种商品的比值进行加权 ，并允许相对权系数随时间变化 符号说明 记 ， ， ( , , ) 0 0 1 0 P = P  Pn ( , , ) 1 n ( , , ) q = q  q P = P1  Pn ( , , ) 0 0 1 0 n q = q  q 以P0 、q0分别表示基准年n种商品的价格及相应的权系数， 以P、q分别表示观察年n种商品的价格及相应的权系数。 物价指数I(P0 ,q0 ,P,q)为 R+ → 的连续函数。 R+ 4n

物价指数函数 前面的公式能否取作物价指数函数 对衡量物价指数方法的一些具体要求: (1)单调性 (2)权系数的不变性 (3)齐次性 (4)平均性 (5)货币单位的独立性 (6)商品单位的独立性 (7)基准年的独立性 (8)物价指数不因某种商品的淘汰而失去意义

物价指数函数 前面的公式能否取作物价指数函数 对衡量物价指数方法的一些具体要求： （1）单调性 （2）权系数的不变性 （3）齐次性 （4）平均性 （5）货币单位的独立性 （6）商品单位的独立性 （7）基准年的独立性 （8）物价指数不因某种商品的淘汰而失去意义

用数学的语言将上述八条性质写成公理形式 任一物价指数函数I(P,q°Pq)应满足以下要求 (1)若P>p则I(P,q;p,q)>l(P,q0;P,4q) (2)(P ga g (3)I(P, 9, nP,q=/(p q, P, q (4)mn≤I(Pq,29)snax2 (5)I(P:q0,AP,q)=I(P0,q,P,q)(λ∈R (6I(dP, D q, dP, D g)=1(p, q, p, q 0 其中D= ,且λ>0(i=1,,n)

用数学的语言将上述八条性质写成公理形式 任一物价指数函数I(P0 ,q0 ,P,q)应满足以下要求： (1) 若 P  ，则 P ( , ; , ) ( , ; , ) 0 0 0 0 I P q P q  I P q P q (2) =1 ( , ; , ) 0 0 0 I P q P q (3) ( , ; , ) ( ; , ) 0 0 0 0 I P q P q = I P q P q (4) min ( , , , ) max ( 1, , ) 0 0 0 0 i n P P I P q P q P P i i i i i i   =  (5) ( : , , ) ( , , , ) ( ) 0 0 0 0 = P q P q R+ I P q P q I  (6) ( , , , ) ( , , , ) 0 1 0 1 0 0 I DP D q DP D q = I P q P q − −           = n D   0 1 0 其中  ,且λi>0 （i=1,…,n）

(P,q°,P,q)I( (P, q,P, g 1(p, g, P, q (8)lmnI(P,q°,P2q)∈R 公理(7)的一些说明 若以197年为基气物 则1989年美 国物价指请大家自行验证前面给出的公 为基准 年 式I1-L是否都能同时满足公 209 根据 理系统的()-(8)要求 ot 1660193

(7) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 I P q P q I P q P q I P q P q I P q P q = (8) + → I P q P q  R pi lim ( , , , ) 0 0 0 公理（7）的一些说明 若以1972年为基准年（物价指数取为1），则1989年美 国物价指数为1.660，而1980年为1.843，若以1973年为基准 年，则1979年和1980年美国物价指数分别为1.093和1.209。 根据公理（7）的要求，应当有 ,事实上，此式只近似成立。 1.093 1.209 1.660 1.843 = 请大家自行验证前面给出的公 式I1－I4是否都能同时满足公 理系统的(1)－(8)要求

一些常用的物价指数函数是否满足公理系统的要求 PqhP1+…+qnPn 0 q+…+qnP 可以用构造法证明上式公理(7不成立 q"P/P=公式 务187出, qP/qP在将近4个世纪的时间里泛用 不一定成立 于计算物价指数 I(P,q,y)=9 容易直接看出公理(2)不成立 此式是 Paasche在1874年提出的,与 ④不同的是计算时采用了现在的权 系数

一些常用的物价指数函数是否满足公理系统的要求 n n n n q P q P q P q P q P q P I P q P q 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ( , , , ) + + + + = =   ➢ 此公式是由laspeyres于1871年提出， 在将近一个世纪的时间里,被广泛用 于计算物价指数 可以用构造法证明上式公理（7)不成立 ,即 不一定成立。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 q P q P q P q P q P q P q P q P = 0 0 0 0 0 0 q P q P q P q P = 0 0 0 0 ( , , , ) q P qP ➢ I P q P q = 此式是Paasche在1874年提出的，与 ①不同的是计算时采用了现在的权 系数。 容易直接看出公理（2）不成立

>(P,q,P:9)=Im 其中a>0,且∑a,=1 该式也不能同时满足公理(1)—(8)。 若委某刀2→0,则舞平方式(4)的种自然推 a的或法和n、q有关,实质上 所有较自然地导出的平衡公 变形。 式均不能满足公理系统,是 否该公理系统有矛盾

➢ 其中ai>0，且 =         = n i a i i i P P I P q P q 1 0 0 0 ( , , , ) 1 1  = = n i ai 此式是平均方式（4）的一种自然推 广。ai的取法和q 0 、q有关，实质上 是权系数的一种变形 。 该式也不能同时满足公理（1）—（8）。 令某 ，则I→0，而 若令某 ，则又有 pi → 0 R+ 0 0 pi 0 → I →+ 所有较自然地导出的平衡公 式均不能满足公理系统，是 否该公理系统有矛盾？

定理17不存在同时满足公里(2)、(3)、(6)、()、(8) 的函数( Eichhorn,1976) 先证明以下两个引理: 引理11e=(112…1)∈R1,D1、D2为任意两个对角元素为正 的对角矩阵,则有 I(e,e, D,D2e, Di D2e=l(e,e, D,e, Dexl(e, e, D2e, D2e) 证明: I(e,e, D De, DD- e)=l(e,e, DD Dke, DIDye)l(e, e, D e, D ') le,e, D,e, De 公理(7)1(DeD2DD2.De)/( e De de) 公理(6(2)(e,e,D2e,D2e)xl(e,eDe,De)

定理11.7 不存在同时满足公里(2)、(3)、(6)、(7)、(8) 的函数I(Eichhorn，1976) 先证明以下两个引理： 引理11.1 记 ，D1、D2为任意两个对角元素为正 的对角矩阵，则有： n e =  R+ (1,1,  ,1) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 I e e D D e D D e I e e D e D e I e e D e D e − − − − =  证明： ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 I e e D e D e I e e D e D e I e e D D e D D e I e e D D e D D e − − − − − − = • ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) (7) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 I e e D e D e I D e D e D e D e I D e D e D D e D D e − − − − − − 公理 • (6)(2) ( , , , ) ( , , ) 1 1 1 1 2 2 I e e D e D e I e eD e D e − − 公理 