浙江大学：《数学建模概论》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 初等模型（2.3）崖高的估算

§23崖高的估算 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器,你也许会出于好奇心想用扔下 块石头听回声的方法来估计山崖的高度, 假定你能准确地测定时间,你又怎样来推算 山崖的高度呢,请你分析一下这一问题。 我有一只具有跑 表功能的计算器

§2.3 崖高的估算 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。 我有一只具有跑 表功能的计算器

方法一 假定空气阻力不计,可以直接利用自由落体运动的公式 h=- gt 来计算。例如,设=4秒,g=9.81米秒2,则可求得h=78.5 米 我学过微积分,我可以做 得更好,呵呵

方法一 假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式 来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。 2 2 1 h = gt 我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵

除去地球吸引力外,对石块下落影响最大的当属空气阻 力。根据流体力学知识,此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度,阻力系数为常数,因而,由牛顿第二定律可 得: =mg-Ky 令k=Km,解得1=ce+ k 代入初始条件(0)=0,得c=-g/k,故有 kt kk 再积分一次,得: t+一e+c kk

mg Kv dt dv F = m = − 除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻 力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可 得： k g v ce kt = + − 令k=K/m，解得 代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有 kt e k g k g v − = − 再积分一次，得： e c k g t k g h kt = + + − 2

代入初始条件h()=0,得到计算山崖高度的公式: h kt gg ① kk 2 kk 若设=005并仍设=4秒,则可求得米 进一步深入考虑<多测厂 均 听将用泰勒公式展开并令k→0+,即可立时间 不得出前面不考虑空气阻力时的结果。 除反 应时间后应为3.9秒,代入式①,求得/≈699米。 ‖再一步深入考虑」

若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 进一步深入考虑 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。 2 2 2 ) 1 ( k g e k t k g k g e k g t k g h kt kt = − − = − − − − ① 多测几次，取平均 值 再一步深入考虑 代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式： 将e -kt用泰勒公式展开并 令k→ 0+ ，即可 得出前面不考虑空气阻力时的结果

还应考虑回声传回来所需要的时间。为此,令石块下落 的真正时间为t1,声音传回来的时间记为t2,还得解一个 方程组: h=2(t1 kt g -e)一 这一方程组是 k k k2非线性的,求 h=340t2 解不太容易, 为了估算崖高 t1+t2=3.9 竟要去解一个 相对于石块速度,声音速度要快得多,我们可 用方法二先求一次h,令12=h340,校正t,求石 块下落时间t12将1代入式①再算一次,得出 崖高的近似值。例如,若h=699米,则t2=021 秒,故1≈3.69秒,求得c62.3米

还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个 方程组：        + = = = + − − 3 9 340 1 1 2 2 1 2 1 t t . h t k g e ) k (t k g h kt 这一方程组是 非线性的，求 解不太容易， 为了估算崖高 竟要去解一个 非线性主程组 似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次h，令t2=h/340，校正t，求石 块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出 崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21 秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米