长安大学：《概率统计》课程电子教案（PPT教学课件）第二章 一维随机变量及其分布（2.3）随机变量的分布函数

§2.3随自机变量的分布函数 而数的会 >三。甫的数奶啦质 三。有面数与离散型家长 布的

§2.3随机变量的分布函数 、分布函数的概念 对于离散随机变量X,我们可以用分布律来描述概率分 布,对于非离散型随机变量由于其可能取的值不能一一列 广出,因此想采用分布律的形式来描述其概率分布是不可能 午的.然而我们可以转而去研究该随机变量在一个区间内取 T值的概率.如考虑对于任意实数xx2(x<x),落在区间 (x,x]上的概率P<Xsx,但由于Pk<X5x}=P{xsx}P{xsx 因此我们只需考虑Psx和PXx}形式的概率就可以 中了,而sx与PX≤x具有相同的形式,因此,我们有 下面的概念 上页

§2.3 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念 对于离散随机变量X，我们可以用分布律来描述概率分 布，对于非离散型随机变量由于其可能取的值不能一一列 出，因此想采用分布律的形式来描述其概率分布是不可能 的．然而,我们可以转而去研究该随机变量在一个区间内取 值的概率．如,考虑对于任意实数 （ ），落在区间 上的概率 , 但由于 = 因此我们只需考虑 和 形式的概率就可以 了，而 与 具有相同的形式，因此，我们有 下面的概念. 1 2 x，x 1 2 x  x (  1 2 x，x Px1  X  x2  Px1  X  x2  PX  x2 − PX  x1  PX  x2  PX  x1  PX  x2  PX  x1 

定义27设X是一个随机变量,x是任意实数,则称函数 F(x)=P{X≤x (2-10) 为X的分布函数或累积分布函数 Cumulative Distribution Function 根据定义F(x)定义在整个实数轴上P(x)在任意实数x处 c的函数值就是随机变量X落在实数轴x点及其整个左侧区间 (∞,x]的概率 对于任意的实数x,x2,当x1<x2时,有 P(XE(x, xl-Px, <Xsx2=F(x2)-F(x1 c从这个意义上说,分布函数完整地描述了随机变量的统计规 律性.分布函数是一个普通的函数,通过它,我们将能用分 析的方法来研究随机现象的统计规律 上页

定义2.7 设X是一个随机变量， 是任意实数，则称函数 （2—10） 为X的分布函数或累积分布函数 （Cumulative Distribution Function）． 根据定义， 定义在整个实数轴上， 在任意实数 处 的函数值就是随机变量X落在实数轴 点及其整个左侧区间 的概率． 对于任意的实数 , 当 时，有 （2—11） 从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规 律性．分布函数是一个普通的函数，通过它，我们将能用分 析的方法来研究随机现象的统计规律． x F(x) = PX  x F(x) F(x) x x (− , x 1 2 x , x 1 2 x  x

二、分布函数的性质 (单调非降性)对于任意实数x,x2当x1<x2时, 有F(xF(x2) 压知建21)/))x即 2(规范性)对于任意实数x,0sf()s1;且 P(如R(x=,F+0)=mF(x)=1:(证略) c3.(右连续性对于任意实数x,有F+0)=lmnF(m)= F(x).(证略) →) 反过来,理论上还可以证明满足以上三条性质的函数F(x 工工 定是某个随机变量X的分布函数.利用分布函数,可以进 行概率计算,几个经常用到公式为: 上页

二、分布函数的性质 1．（单调非降性） 对于任意实数 ,当 时, 有 ≤ ； 事实上，由（2—11）， － = ≥0 即 知此性质成立． 2.（规范性）对于任意实数 ， ；且 ；（证略） 3. (右连续性) 对于任意实数 ，有 F(x+0) = F（x）．（证略） 反过来，理论上还可以证明满足以上三条性质的函数 , 一定是某个随机变量X的分布函数．利用分布函数，可以进 行概率计算，几个经常用到公式为： , , 1 2 x x 1 2 x  x ( ) 1 F x ( ) 2 F x ( ) 2 F x ( ) 1 F x Px1  X  x2  x 0  F(x) 1 x lim F(u) u→x+ = F(x)

对于任意实数,有 (1).PXx=x=F()Fx-0;(证略)(2-12) (2).P(xx}=1-F(x) (4).P(X≥x}=1-F(x-0); 上页

对于任意实数 ，有 (1). = ;（证略) （2－12） (2). = ； 证明 根据（2－10）和（2－12）可知 □ 类似可证 (3). =1－ ； (4). =1－ ； x PX = x F(x)− F(x − 0) PX  x  F(x −0) PX  x = PX  x − PX = x  = F(x) −[F(x) − F(x − 0)] = F(x − 0) PX  x  F(x) PX  x F(x −0)

王三号量分命的关系 (1)若离散型随机变量的分布律为: xx1x24…|xk P4n1°P2 P 则对于任意实数xX的分布函数为 F(x)=P{X≤x}∑P (2-13) 即,F()的值等于所有不大于x的x对应的概率之和 (2)设离散型随机变量X的分布函数为F(x),x为其间断 点k=1,2,,则X的分布律为 Pk=PX=x}=(x)-F(x-0),k=1,2,… 上页 圆

三、分布函数与离散型随机变量分布律的关系 一般地 （1）若离散型随机变量的分布律为： 则对于任意实数 ,X的分布函数为 (2－13) = 即, 的值等于所有不大于 的 对应的概率之和． （2）设离散型随机变量X的分布函数为 ， 为其间断 点 =1, 2, …, 则X的分布律为 = , =1，2，…. (2－14) x F(x) = PX  x  x x k k p F(x) x k x F(x) k x k pk = PX = xk  ( )− ( − 0) k k F x F x k