长安大学：《概率统计》课程电子教案（PPT教学课件）第三章 多维随机变量及其分布（3.1）二维随机变量及其联合分布

§3.1二维随机变量及其联合分布 >=、三藏机数最的合有 >三。三能葛散型断椒家长其你 >词三定能型航数长合料密太

§31二维随机变量及其联合分布 维随机变量的概念 在射击时,弹着点是目标上的一个位 置,它与横坐标和纵坐标有关,弹着点受 王两森的影响,在取稳结构设计出于 荷载效应,可靠性也受着两个变量的影 ● 与一维随机变量类似,一般地我们可 牛定义二维随机变量如下: 上页

§3.1 二维随机变量及其联合分布 一、二维随机变量的概念 在射击时，弹着点是目标上的一个位 置，它与横坐标和纵坐标有关，弹着点受 两个变量的影响. 在工程结构设计中，出于 可靠性的考虑，需要考察构件的抗拉力与 荷载效应，可靠性也受着两个变量的影 响． 与一维随机变量类似，一般地我们可 定义二维随机变量如下：

王定义31设是二个随机试验,X=X0)和X=Ya 生是定义在其样本空间?上的随机变量,O∈9 牛,由它们构成的向量xoX)称为定义在样 本空间Ω上的二维随机变量或二维随机向 量,简记为(X,Y).Xo)、Y(o)依次称为二 维随机变量(x,Y)的第1个分量(或坐标) 午第二个分量(或坐标) 般地,设是一个随机试验,( o,Xo)…,x(o) 是定义在其样本空间9上n维随机变量或n 维随机向量,简记为(x12X2…,Xn),X1=X(O) 牛称为第;个分量(或坐标),=12n 上页

定义3.1 设是一个随机试验， 和 是定义在其样本空间 上的随机变量， ，由它们构成的向量 称为定义在样 本空间 上的二维随机变量或二维随机向 量，简记为 ． 、 依次称为二 维随机变量 的第1个分量（或坐标）、 第二个分量（或坐标）． 一般地，设是一个随机试验， 是定义在其样本空间 上 n维随机变量或n 维随机向量，简记为 ， 称为第 个分量（或坐标）， . X = X () Y = Y ()    (X(), Y())  (X, Y) () () () X X Xn , , , 1 2   ( ) X X Xn , , , 1 2  () Xi = Xi i i = 1, 2,  ,n X () Y() (X, Y)

二、二维随机变量的联合分布 在研究随机向量的概率特征时,除每 个随机变量的概率特征外,;还要研究它们 ● 庄只研究单个随机变量的分布是不够的,还 必须研究随机向量作为一个整体的联合分 布 对于二维随机变量,(x,Y)作为整体的 牛分布称为二维随机变量(x)的联合分布 上页

二、二维随机变量的联合分布 在研究随机向量的概率特征时，除每 个随机变量的概率特征外，还要研究它们 的联合概率特征：后者可以完全决定前者， 但是前者一般不能完全决定后者．因此， 只研究单个随机变量的分布是不够的，还 必须研究随机向量作为一个整体的联合分 布． 对于二维随机变量， 作为整体的 分布称为二维随机变量 的联合分布 (X, Y) (X, Y)

王( Joint distribution).与一维情形类似,为 庄了研究二维随机变量的联合分布,我们引 入二维随机变量的分布函数的概念 定义320设()是定义在样本空间a上 的二维随机变量,对于任意的实数 x,y 王称函数 T F(x, D)=P(o: X(o)sx, Yo)<y)(3-1) 王为二维随机变量x()o)联合分布函 数( Joint Distribution Funct),简° (x的分布函数 上页

（Joint Distribution）．与一维情形类似，为 了研究二维随机变量的联合分布，我们引 入二维随机变量的分布函数的概念． 定义3.2 设 是定义在样本空间 上 的二维随机变量，对于任意的实数 ， 称函数 （3—1） 为二维随机变量 的联合分布函 数（Joint Distribution Function），简称 的分布函数． (X(), Y())  x, y F(x, y) = P{ : X()  x, Y()  y} (X(), Y()) (X , Y)

以后,将(3-1)中的表达式简记为 中F(xy)=PX≤x,ysy显然,分布函数F(x,y)在 中平面上任意点〔处的函数值就是随机 牛点X落在点y左下方的整个无穷区域内 的概率,如图31所示 ● y (x,y) 工工工 图3.1 上页

以后, 将（3—1）中的表达式简记为． 显然，分布函数 在 平面上任意点 处的函数值就是随机 点 落在点 左下方的整个无穷区域内 的概率，如图3.1所示． F(x, y) = P{X  x, Y  y} F(x, y) (x, y) (X , Y) (x, y) o 图3.1 y （x, y） x

联合分布函数具有下列性质 由定义32和图32易知,对任意的x,x2,y1,y2 (x<x2y1<y2),有 .,n男<75}=71+(3-2) 下从而,(x,y)=F(3,y)Fx,y2+F,y20 (3-3) (x2,y2) 工工工 图3.2 上页

联合分布函数具有下列性质 由定义3.2和图3.2易知， 对任意的 （ ），有 1. （3－2） 从而, ≥0 （3—3） 1 2 1 2 x , x , y , y 1 2 1 2 x  x , y  y { , } ( , ) ( , ) 1 2 1 2 2 2 2 1 P x  X  x y  Y  y = F x y − F x y ( , ) ( , ) 1 2 1 1 − F x y + F x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 1 1 2 1 1 F x y − F x y − F x y + F x y （x1，y2） （x2，y2） （x1，y1） （x2，y1） 图3.2 o

压2.是和的单调非降函数;(证略) 3.对于平面上的任意点(x,y), 0≤F(x,y)≤1; 王且对任意固定的”,一-0, 工对任意固定的x,-)=0, f(,-)=0,F(+∞,+∞)=1(34) 这可借助于几何直观进行说明 4.F(x)关于x和y均右连续,即 F(x,y)=(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0) 上页

2. 是和的单调非降函数；（证略） 3. 对于平面上的任意点 ， ； 且对任意固定的 ， ， 对任意固定的 ， ， , （3—4） 这可借助于几何直观进行说明． 4. 关于 和 均右连续，即 , (x, y) 0  F(x, y)  1 y F(−, y) = 0 x F(x, − ) = 0 F(−, − ) = 0 F(+, + ) = 1 F(x, y) x y F(x, y) = F(x + 0, y) F(x, y) = F(x, y + 0)

三、二维离散型随机变量及其联合分布律 与一维随机变量的情形类似,我们这 生里讨论的也是离散型和连续型这两种类型 千定义33若二维随机变量xY)所有可能取 值只有有限或可列无限个,则称(x,为二 维离散型随机变量 显然,若(X,Y)是二维离散型随机变量, 上则其分量和都是一维离散型随机变量 牛通常,我们用联合概率分布律(列) 上页

三、 二维离散型随机变量及其联合分布律 与一维随机变量的情形类似，我们这 里讨论的也是离散型和连续型这两种类型 的二维随机变量． 定义3.3 若二维随机变量 的所有可能取 值只有有限或可列无限个，则称 为二 维离散型随机变量． 显然，若 是二维离散型随机变量， 则其分量 和 都是一维离散型随机变量. 通常, 我们用联合概率分布律（列） (X , Y) (X , Y) (X , Y) X Y

定义3.4设(xY)是二维离散型随机变量,它 所有可能的取值为(x,y),=12…,则称 PX=x,Y=y}=p1,i,j=1,2,…(3-5) 王为x2的联合分布律(列)或联合概率分布 oint Probability distribution),简称分布 律 Xy y2 上分布律一般用表格形式表示:xn (3-6) x2P21P2…P2 工工 pipi P 王页圆下贡

定义3.4 设 是二维离散型随机变量，它 所有可能的取值为 , ， 则称 （3—5） 为 的联合分布律（列）或联合概率分布 (Joint Probability Distribution)，简称分布 律． 分布律一般用表格形式表示: （3—6） (X , Y) ( , ) i j x y i, j = 1, 2,  P{X = xi , Y = y j } = pi j , i, j = 1, 2,  (X , Y) X y1 y2  y j  1 x p11 p12  p1 j  2 x p21 p22  p2 j       i x pi1 pi 2  p i j      