长安大学：《概率统计》课程电子教案（PPT教学课件）第四章 随机变量的数字持征（4.1）数学期望

§4.1数学期望 >三。离散型随变长的数莺期 三。能型航机家呦数 回。数莺期尚帐

主第四章随机变量的数字特征 从第二章和第三章可知只要知道了随机变量的概率分就 r能完整地刻画随机变量的性质.然而在许多实际问题中一方 面确定一个随机变量的概率分布常常比较困难,另一方面有 时也并不需要知道随机变量的完整性质,而只要了解了随机 变量的某种特征就可以了.用来描述随机变量某种特征的量 T称之为随机变量的数字特征 本章主要介绍用于刻画随机变量取值平均程度的数学期 望、用于刻画随机变量取值分散程度的方差及用于刻画两个 下随机变量之间内在关联性的协方差和相关系数以及矩等念 上页

第四章 随机变量的数字特征 从第二章和第三章可知,只要知道了随机变量的概率分就 能完整地刻画随机变量的性质．然而在许多实际问题中一方 面确定一个随机变量的概率分布常常比较困难，另一方面有 时也并不需要知道随机变量的完整性质，而只要了解了随机 变量的某种特征就可以了．用来描述随机变量某种特征的量 称之为随机变量的数字特征. 本章主要介绍用于刻画随机变量取值平均程度的数学期 望、用于刻画随机变量取值分散程度的方差及用于刻画两个 随机变量之间内在关联性的协方差和相关系数以及矩等念．

s4.1数学期望 一、数学期望的概念 某射手在每次射击中命中的环数服从如下布: x401 34 10 PoP1 2P3 可以看出该射手在一次射击中平均命中的环数等于随机 变量X的可能取值与其对应的概率乘积之和.一般地,为刻 画随机变量所取的平均值,我们给出如下定义 二、离散型随机变量的数学期望 定义41设X为离散型随机变量,其分布列为 上页

§4.1 数学期望 一、数学期望的概念 某射手在每次射击中命中的环数服从如下布： 可以看出:该射手在一次射击中平均命中的环数等于随机 变量X的可能取值与其对应的概率乘积之和．一般地，为刻 画随机变量所取的平均值，我们给出如下定义 二、离散型随机变量的数学期望 定义4.1 设X为离散型随机变量，其分布列为

P P1 p P& 若级数∑xP绝对收敛即∑xpx+,则称级数∑xP 为随机变量X的数学期望ctn记为E,BD的和 EX ∑ kkK (41) 王若级数D不绝对收敛,则称N的数学期里不存在 在定义中,要求∑xP绝对收敛是必须的,因为X的数学 期望是一个确定的量,应不受xkPk在级数中的排列次序的影 响,这在数学上就是要求级数绝对收敛 上页

若级数 绝对收敛,即 ,则称级数 的和 为随机变量X的数学期望(Expectitiong),记为 ,即 （4—1） 若级数 不绝对收敛，则称X的数学期望不存在． 在定义中，要求 绝对收敛是必须的，因为X的数学 期望是一个确定的量，应不受 在级数中的排列次序的影 响，这在数学上就是要求级数绝对收敛．   k=1 xk pk   +   = x pk＜ k k 1   k=1 k pk x EX   = = k 1 EX xk pk   k=1 k pk x   k=1 xk pk k k x p

由(4-1)知,X的数学期望实际上是其所有取值x关于 其相应概率p为权重的加权平均.当X的取值为有限个E r定存在,但当X的取值为无限多个时,就必须要求级数∑xPk 绝对收效,才存在 设X是一维随机变量,=8(是X的函数,则Y的数学期望 可由(41)求出,但此时需要知道Y的概率分布律.不过由 于Y是X的函数,还可以通过X的概率分布律间接求出Y的数学 r期望,这就是下面的公式: 若∑g(x)绝对收敛,则 EY=E[g(X)=∑g(x)Pk k=1 (42) (证略) 类似地,我们还有 上页

由（4－1）知，X的数学期望实际上是其所有取值 关于 其相应概率 为权重的加权平均．当X的取值为有限个， 一 定存在，但当X的取值为无限多个时，就必须要求级数 绝对收效， 才存在． 设X是一维随机变量， 是X的函数，则 的数学期望 可由（4—1）求出，但此时需要知道 的概率分布律．不过,由 于 是X的函数，还可以通过X的概率分布律间接求出 的数学 期望，这就是下面的公式： 若 绝对收敛，则 ． （4—2） （证略） 类似地，我们还有 k x k p EX   k=1 k pk x EX Y = g(X ) Y Y Y Y   =1 ( ) k k pk g x   = = =  1 [ ( )] ( ) k k pk EY E g X g x

若(X)的联合分布律为Px=x,Y=y}=p1,t,=12…,g(x,y) 是二元连续函数,则g(x,y)的数学期望Eg(X,Y E8(X,Y=∑∑g(x1y)P;(43)(证略 当然我们也可以先求出g(X,Y)的分布律,再计算8(X,Y)的 A数学期望 三、连续型随机变量的数学期望 定义42设X为连续型随机变量,其概率密度函数为f(x),若 干积分/(绝对收敛,则称积分∫x(4的值为随机变量 X的数学期望,记为EX,即 +OO EX= xf(x)dx (44) r"否则X称的数学期望不存在 上页

若 的联合分布律为 是二元连续函数，则 的数学期望 为 （4—3）（证略） 当然,我们也可以先求出 的分布律,再计算 的 数学期望． 三、连续型随机变量的数学期望 定义4.2 设X为连续型随机变量，其概率密度函数为 ,若 积分 绝对收敛，则称积分 的值为随机变量 X的数学期望，记为 ，即 （4—4） 否则X称的数学期望不存在． (X,Y) P{X = x ,Y = y } = p , i, j = 1, 2,  , i j i j g(x, y) g(x, y) Eg(X, Y) =  j i i i i j E[g(X , Y)] g(x , y ) p g(X, Y) g(X, Y) f (x)  + − x  f (x) dx  + − x  f (x) dx EX  + − EX = xf(x)dx

类似地,设X是连续型随机变量,其概率密度函数为f(x), y=g(x)是一元已知函数,若∫8(x)f(x)dx绝对收敛,则y=g(X 的数学期望为 E()=Eg(X)=g(x).f(x)dx (45) 设(X,Y)是二维连续型随机变量,其联合概率密度函数为 f(x,y),g(xy是二元已知函数,若∫∫x)(xy)d绝对 收敛,则g(X,Y)的数学期望为 elg(x, y)l g(x, y)f(x, y)dx dy (46) 四、数学期望的性质 性质1设c是常数,则E(c)=c (47) 性质2若X和Y相互独立,则E(X)=E(X),E();(48) 性质3.E(X±Y)=E(X)±E(Y) (49) 性质4.E(cX)=cE(X) (4-10) 上页

类似地，设X是连续型随机变量，其概率密度函数为 ， 是一元已知函数，若 绝对收敛，则 的数学期望为 （4—5） 设 是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为 是二元已知函数， 若 绝对 收敛，则 的数学期望为 （4—6） 四、数学期望的性质 性质1. 设c是常数，则 ； （4—7） 性质2. 若X和Y相互独立，则 ； （4—8） 性质3. ； （4—9） 性质4. ; (4—10) f (x) y = g(x)  + − g(x) f (x)dx Y = g(X )  + − E(Y) = Eg(X) = g(x) f (x)dx (X, Y) f (x, y)， g(x, y)   + − + − g(x, y) f (x, y)dxdy g(X ,Y)   + − + − E[g(X, Y)] = g(x, y) f (x, y)dxdy E(c) = c E(cX ) = cE(X ) E(X  Y) = E(X )  E(Y) E(XY) = E(X ) E(Y)

性质2可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的 c情形上,即 上若x,x2 ,…￥X相互独立,则 E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(X)(4-1) 上式E EX i=1 证明只绐出性质3和性质4在连续型情形下的证明 设(X,Y是连续型随机变量,概率蜜度函数为f(xy),边 缘概率密度函数为fx(x),f(y),于是 +OO A+OO E(X士Y)=[(x±y)f(xy)dxdy ∫x(x,yd士∫」y(x,yd 上页

性质2可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的 情形上，即 若 ， ，… ,相互独立，则 （4－11） 上式简记为 = ． 证明 只给出性质3和性质4在连续型情形下的证明. 设 是连续型随机变量，概率密度函数为 ，边 缘概率密度函数为 ， ，于是 X1 X2 X n ( ) ( ) ( ) ( ) E X X Xn E X E X E Xn =   1 2 1 2         = n i E Xi 1 = n i EXi 1 (X, Y) f (x, y) f (x) X f (y) Y   + − + − E(X Y) = (x  y) f (x, y)dxdy     + − + − + − + − = x f(x, y)dxdy  yf (x, y)dxdy

=E(X)±E(Y) 又若X和Y相互独立,则f(x,y)=fx(x)f(y),于是, E(m)= +P+00 +0A xy.f(x, y )dxdy xy.fr(x)fr (y)dxdy 00d-00 +∞O x·fx(x)dx y·f(y)y|=EX·EY 上页

又若X和Y相互独立， 则 = , 于是， = E(X )  E(Y) f (x, y) f (x) X f (y) Y  E XY x y f x y x y x y f x f y x y X Y ( ) ( , )d d ( ) ( )d d     + − + − + − + − =  =   x f X x x y f Y y y = EX  EY           =    + − + − ( )d ( )d