长安大学：《概率统计》课程电子教案（PPT教学课件）第六章 数理统计基本识（6.2）三大统计分布

§6.2三大统计分布 >一。方=份有

962三大统计分布 本节介绍数理统计中的三个著名分布, 生宝们在参数使计和假设检验等统计推断间 X平方分布 定义61设随机变量灬独立且服从相同 分布M0),则称 x2=∑H2=X2+X2+…+X2(6-8 王所服从的分布是自由度为的x2-分布, 记为x⑦,称z为z变量为纪念英国著 名统计学家皮尔( KPearson,1857-1936) 圆[t 上页

§6.2 三大统计分布 本节介绍数理统计中的三个著名分布， 它们在参数估计和假设检验等统计推断问 题中有广泛应用. 一、X平方-分布 定义6.1 设随机变量 独立且服从相同 分布 ，则称 (6-8) 所服从的分布是自由度为n的 -分布， 记为 ，称 为 -变量. 为纪念英国著 名统计学家皮尔（K.Pearson，1857-1936） X X Xn , , , 1 2  N(0,1) = = = + + + n i n Xi X X Xn 1 2 2 2 2 1  2 2  2  ~ ( ) 2 2 n  n  2  n 2 

x分布也称为皮尔逊x2-分布这是数理统计中 c一个十分重要的概率分布 平根据独立随机变量和的密度公式(3-27和数学 生归纳法,可以证明:xm分布的概率密度函 x-e x>0 (x)={2T() ≤0(6-9) 其中是r函数,定义见第四章附录2.图 王间趣套的概率密度函数6y在几种不 上页

- 分布也称为皮尔逊 -分布. 这是数理统计中 一个十分重要的概率分布. 根据独立随机变量和的密度公式(3-27)和数学 归纳法，可以证明： -分布的概率密度函 数为（详见[5]） ，（6-9） 其中 是 -函数，定义见第四章附录2．图 6.1是 -变量的概率密度函数(6-9)在几种不 同参数下的图像. 2  2  ( ) 2  n        = − − 0 , 0 , 0 2 Γ( ) 1 ( ) 2 2 2 1 2 x x e x f x n x n n n Γ(x) Γ 2 

平特别地,当n=2时,服从参数=的指数 分布.此外,x2-分布具有以下性质: (1)数字特征.若z2~x2(n),则 Ex=n. Dxx=2n 9(2)可加性、若-x 王x且与独立, 021=1 0.15 n=5 X1+x2x(n+)(6-10) 0.10 =10 n=20 0.05 00 40X 图61x2-分布的概率密度函数 上页

特别地，当 时， 服从参数 的指数 分布. 此外， -分布具有以下性质： （1）数字特征. 若 ，则 ， . （2）可加性. 若 且 与 独立，则 . (6-10) n = 2 2  2 2 1  = 2  ~ ( ) 2 2  n  n E n = n 2  D n 2n 2  = ~ ( ) 1 2 1 X  n ~ ( ) 2 2 2 X  n X1 X2 ~ ( ) 1 2 2 1 2 X + X  n + n

王为便于今后的应用,现在我们引入上侧分 位数的概念所谓一个分布的a-上侧分位数 就是指这样一个数,它使相应分布的随机 变量不小于该数的概率为a.比如,若记x 变量x2的a-上侧分位数为,则满足(见图 A62) 工工工 图6.2 上页

为便于今后的应用，现在我们引入上侧分 位数的概念. 所谓一个分布的 -上侧分位数 就是指这样一个数，它使相应分布的随机 变量不小于该数的概率为 . 比如，若记 - 变量 的 -上侧分位数为，则满足（见图 6.2）.   2  2  n  图 6.2 ( ) 2   n  f (x) n x

对不太大的n,如n≤6,可用附表3查的 庄值,而对较大的n,则可用(61)近似计 算 x2(n)≈n+√2nU,612) 其中U是标准正态分布N0的O-上侧分位 王数,可通过附表2查出 工工工 上页

对不太大的n，如 60，可用附表3查 的 值，而对较大的n，则可用（6-11）近似计 算 , (6-12) 其中 是标准正态分布 的 -上侧分位 数，可通过附表2查出. n  ( ) 2 n     n n 2n U ( ) 2  + U N(0,1) 

牛王二、t-分布 丰定以21设x0与)独立 布是 度为的分布记作1分布 也称为学生分布,是英国统计学家戈塞特 ( Goset,1876-1937)在1908年“ Student” 的笔名首次发表的,这个分布在数理统计 庄中也占有重要的地位 根据独立随机变量商的密度公式(3-32), 可以证明(过程从略):(6-13)中的 王概率密度函数为 上页

二、t -分布 定义6.2 设 ， ，X与Y独立， 则称 (6-13) 所服从的分布是 自由度为n的t-分布，记作 . t -分布 也称为学生分布，是英国统计学家戈塞特 （Goset，1876-1937）在1908年“Student” 的笔名首次发表的，这个分布在数理统计 中也占有重要的地位. 根据独立随机变量商的密度公式(3-32)， 可以证明（过程从略）：(6-13)中的 概率密度函数为 X ~ N(0,1) ~ ( ) 2 Y  n Y n X Tn / = T ~ t(n) n Tn

王根据独立随机变量商的密度公式32,可 以证明(过程从略):(6-13)中T的概率 密度函数为 f, (x) I() 00<X<+00 √nI(2) (6-14) 另外,t-分布具有以下性质 (1)(近似标准正态)当m→0时,(+0= 这就是说,当n充分大时,t分布(n近似于 标准正态分布N(0,1),但如果n较小,这两 个分布的差别还是比较大的,见图6.3, 上页

根据独立随机变量商的密度公式(3-32)，可 以证明（过程从略）：(6-13)中 的概率 密度函数为 , . (6-14) 另外，t -分布具有以下性质： （1）（近似标准正态） 当 时， 这就是说，当n充分大时，t -分布 近似于 标准正态分布 ，但如果n较小，这两 个分布的差别还是比较大的，见图6.3， Tn 2 1 2 2 2 1 1 Γ( ) Γ( ) ( ) + − +         = + n n n n n x n f x  −   x  + n → 2 2 2 1 ( ) ( ) x n f x x e − → =   t(n) N(0,1)

王其中粗虚线是ND的密度函数叭).我们 看到,所有的t分布密度函数值在x=0附近 c均未超过的值,而在两边的尾部均超过ox) 了的值.这就是统计学中所谓的“重尾” ( Heavy trails)现象 n=10 n=5 04+fn(x) 2 0.2 图6.31分布的概率密度函数 上页

其中粗虚线是 的密度函数 . 我们 看到，所有的t -分布密度函数值在 附近 均未超过的值，而在两边的尾部均超过 了的值. 这就是统计学中所谓的“重尾” （Heavy Trails）现象. N(0,1) (x) x = 0 (x) -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 N(0,1) n = 10 n = 5 n = 2 n = 1 图 6.3 t-分布的概率密度函数 f (x) n x

王()(数字特征)若7-1),mn>2,则 ET =0. DT= n-2 顺便指出,自由度为1的t-分布也称为柯西 王( Cauchy)分布,它以其数学期望和方差 均不存在而闻名(见例 4.3) 记分布(0的上侧分位数为0,附表4 给出了不同n和所对应的(n)数值.另外 由性质(1)知,对较大的n(比如n>60) ,可用下式近似 ta(n)≈Ua(6-15) 上页

（2）（数字特征）若 ， ，则 顺便指出，自由度为1的t -分布也称为柯西 （Cauchy）分布，它以其数学期望和方差 均不存在而闻名（见例4.3）. 记t -分布 的 -上侧分位数为 ，附表4 给出了不同n和 所对应的 数值. 另外， 由性质（1）知，对较大的n（比如 60） ，可用下式近似 . (6-15) T ~ t(n) n n  2 . 2 0, − = = n n ETn DTn t(n)  t (n)   t (n)  n   n U t ( ) 