《数学教学论》课程教学资源（中小学数学基础教育研究专题）复杂问题简单化（打印版）

复杂问题简单化 习惯于解常规数学问的学生猛然接触数学竞赛题有一种陌生感，茫然不知所措这是为什么呢？因 为亮赛题一般不受课本上题型的限制。有志于参加数学竞赛的学生在学好课本知识的基础上，还必须学会 在不拘一格的全新数学亮赛试题面前，自己去探寻问题所涉及的洛种数里关系和空间形式，摸索其中深旅 首的规律性，发现解决问题的思路与方法。从问题的简单情开形入手，正是当你一筹莫展之时，设法进行探 寻、摸索，最终发现解决问题途径的一种入手方法。 从问的简单情形入手包括复杂问题简单化、抽象问题具体化、一般问题特殊化三个方面。在本章里，我 们将通过例子对此进行间装说明 复杂问题简单化 当我们遇到一个数学问题比校复杂，一时理不清它的头绪时，不妨先想一想，有没有一个与此类似的 较为简单的问题？如果有，那么我们就可以先去做较为简单的问题。这样做，不仅不会贻误时间，而且恰 恰相反，磨刀不误玖柴工 例1用2,3,4,5,6，8,9这8个数字组成两个四位数（每个数字都必须用上），使它们的职最大 解我们不斯失考虑一个较为简单的问题：用6,7,8,9这4个数字组成两个两位数（每个数字都必须用 上)，使它们的积最大。 对此简单情形，我们做起来就顺手多了。首先，十位数字应分别是9,8，于是，只需比校 96×87和97×86哪一个大就可以了。比较结果：96×87更大些。因此，应组成96和87这样辆个两 位数。 在，我们再回到原来的问颗。显然，上面的简单问颗的朝答事实上已经告诉我们，原问题所求的两 个4位数的前面两位数字分别是96和87。要确定十位教字，只需将964×875与965×874进行比较 因为964×875>965×874，所以两个4位数的前三位数字分别是964和875。最后，再比核 9643×8752和9642×8753。因为9042×8753>9643×8752，所以，所术的两个四位卦是 △收藏到云壶X日心你 9642和8753。这就是原问的解箸

复杂问题简单化

回顾上述解题过程，可以发现：从较湾单问题中得到的解题经验、思路和方法，对于解原问题是何等的 宝贵和重要。因此，从简单问题入手，将复杂问题简单化，可以为最终解决复杂问题提供重要的经验 应该看到，不同思维水平的学生从简单问题的解答中受到的启示是不完全相同的。一个乐于思考、善于 思考的学生往往表现出核高的思维水平，他能够在同样的结果面前，得到便为深刻的启示。例如，在上述 简单问题的解落中，要用到不等式96×87>97×86。受此启示，有的学生就会去探寻这种不等关系所 +87-97+86,96-87<97-86,所似自然会想到，是否和为定值的辆数，其差 大呢？回苦是肯定的。 事实上，如果设两数为x和y,x+y=k定值，再设x-y=d,那么由y=2-d内可 知，d越小，则9y越大。我们从筒单问题中得到的这类具有普追意义的理论启示，显然可以使我们避开 索然无味的嵊法运算，轻而易举地得出原问的解落了（这一点留给读者去尝试）。 例2已知方程组 「xx3-x3o0=1 5-x3x3.500=1, (2 x为3-xx4x300=1 3) x3.5-x308w0=1.(2000) 求x13a的值

分析我们盾到，这个方程组共有2000个未知数，2000个方程，并且还是一个高次方程。初次接这种 方程组，自然会难于下手。 再认真察看一下方程组的特点，不谁发现，每个方程的右端都是1，而每个方程的左端都有 ,X,X00,并且从第二个方程开始，都有一个“-”号，第i个方程的“-”号恰在X与x,之 间。 于是，我们在保持方程组原有特点的前提下，来一个夏杂问题简单化，先来考察一个只有3个未知数， 3个方程的方程组 1) 为-x33=1, (2 (3) 要解这个简化了的方程组已经没有多大的困难了。事实上，由(1')得为为= ⊥，代入(2)得 名-11。由此即可解得：再由(1)）得为= 1 ,代入)得西 1,由此即可得 名，从而也可得最后由(1得=，代入6得-名=1，由此阿解得。 摸清了简化了的方程组的解法思路之后，再来考察原方程组。此时，你的感觉就和初吹接触原方程组 时大不相同了吧。就好像老师钢给你讲了一道例题，现在让你来做一道类型相同的习题一样，只是习题看 上去比例题复杂一些。因此我建议读者自己通过两个方程组的对比，将原方程组的解法找出来，然后再 继续往下读

解由(1)知x2.五9≠0，用为一为 2 同理，用x为~为93分别乘方程(1990)两边，并利用(1)得 (为1x198)2-1=x1x1383 有名=1±5 2 于是，X1的的值是 5±5= 2 2 55=4 2 5++5=35 2 2 听球的是离3+5我-3二5 2 2 细心的读者将会发现，上述解法与简化了的方程组的解法在叙述的格局上有所不同。你能弄清这两种绑 述超的格局在本质上的共同点吗？你能明白现在的缴述格局正是从原来的启发演变而来的吗？你能懂得采用 新格局来叙述的用意吗？