《数学教学论》课程教学资源（中小学数学基础教育研究专题）一般问题特殊化（打印版）

一般问愿特殊化 当我们遇到一个一般的数学问题，一时又摸不透时，那么我们应留意问题中具有一般状态的厘的某些 特殊状态，香一看在特殊状态下，问题呈现什么性质和规律：也可以将一般状态分解成几种特殊情形，逐 一地将它们决。这种一船问特殊化的方法，也使原问题变得简单，变得易于入手，并且为最终发现一 船问颗的规律，M而为决一船问题铺平了首路】 例4单位正方形周界上任意两点之同连一曲线。如果它把这个正方形分成两个面积相等的部分，试证这 个曲线段的长度不财小于1。 证由于曲的两个端点（不坊设为P,Q)在正方形周界上位置的任意性，因此证明难以直接下手。此 时，我们将这个一般问题按P,Q的相关位置先分解成三个特殊问题（如图1一1一1 (1)P、Q分别在一对树边上； (2)P、Q在同-边上： (3)P、分别在-对邻边上· 方

一般问题特殊化

然后在这三个特殊问题中，选择一个最容易解决的问题，先把它的解若做出来（依然是从简单入手）。显然， 倩况(1)容易解出：因为在两平行线间以公共垂线知的长度为最短，所以曲线PQ的长度不小于1。 首战告捷之后，我们转向情况(2)。情况(2)与情况(1)的区别莊于P点的位置，如能将情况(2) 中P点的位置移到CD边上，而使曲线长度不变，则情况(2)就转化为情况(1)，问题就得到解决。事 实上，利用正方对称性，上述设想蹴可以实现的。作正方稀轴EF,且使EF∥AB,则EF 与曲线PQ必有交点（否则正方形被曲线PQ分成的两部分面积不相等），不斯设其中的一个交点为M。 作曲线PM关于对称轴EF的轴对称曲线PM,则P'在CD上，且曲线P”M的长等于曲线PM的 长。由(1)知，曲线PMQ的长不小于1，因此曲线PMQ的长也不小于1。至此情积(2)得证。情只 (3)同样可以利用对称转化为情况(1)。我们把它留给读者去思考： 证明请读者自行完成。 上例的解题过程始终贯穿着从问题的简单情形入手的思想，将一般问题分解成几个特殊问题，是因为 每个特殊问题的解决要比原问题简单一些，同时对着几个特殊问题，我们地不同等香待，而是区别雅易， 先从其中最简单的一个问题入手，待我职累了足的经验之后，难题在我们面前也就变得容易了。 尽管从问的简单情形入手只是解数学竞赛题时修种方法中的一种，并丰万能，然而这种方法由于符 间单复杂，从具体到抽家，从持殊到一般的认识规律，国此在数字竞赛中常能显示