《数学教学论》课程教学资源（中小学数学基础教育研究专题）抽象问题具体化

抽象问题具体化 当我们遇到一个抽象的数学问题时，如果一时拿不出解题良策，那么不妨将其中的抽象的良具体化， 考察几个与此相应的具体问题，与夏杂问题简单化一样，抽象问题具体化将为最终解决抽象问题带来许多 有益的启示。 例3求1,2,3，10°-1中所有数字的和。 分浙由于题目要求所有数字之和，而不是求所有数之和，因此，没有现成的方法可以遵循，一时感到棘 手。于是，我们把表示任意自然数的抽象字母n具体化，先考虑n=1,n=2的情形。 当n=1时，即球1,2,3，9中所有数字之和，显然是十分容易的。 当n=2时，即味1,2,3,99中所有数字之和。如果我们按照先后顺序，将其中的数字-个 个地加起来，自然可以求出所有数字之和。但是，这种算法显然不能用来解决原问题。如果我们用等差数 列求和的方法，先将与首尾等距离的项对应加起来：1+99-100,2+99=100，那么由于1和9的数字 之和为19，而100的数字之和是1，因此势必失去加数的数字和与和的数字和之间的联系，使我们欲求所 有加数的数字和的目标无法达到。现在我们必须寻找一种新的算法，它既能在n=2的情形奏效，又能推 广到原问题中去。吸取失败的经验教训之后，我们不难发现：使得和为99的对相加方法，能保持加数的 数字和等于和的数字和（读者试看自己来证明这一结论）。这一发现使我们得到了n=2时的一种巧妙算 法。 设S(a,b,c,.)表示a,b,c,.中所有数字的和。于是 =S1,2,99=S(99,1+98,2+97,3+96,49+50) =5(99,99,.,99 50个 =50-S(99) =50-2.9=900 将这一算法推广，就可以得到下面的关于原问的解。 解S(1,2,3,10°-1D =S10°-1,10-1，10-1 0 =9ax10 =3n-10 上面的例子说明，运用从简单的情形入手的方法去考察简单的、具体的问题，并不是我们的最终目的。 而简单的、具体的问题的解法也并不都能推广为夏杂的、抽象的问题的解法。我们的目的仍然是要解决夏 杂的、抽象的问题，因此在考虑简单的、具体的问题时，必须寻找能夠够进一步推广以便最终解决原问题的 解法思想

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