《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第二章 随机变量及其分布（2/4）

第二章随机变量及其分布82离散型随机变量上节内容复习：离散型随机变量分布率律定义和性质Pn = P(X = x,),n -1,2,...;(1)对任意的自然数n，有p，≥0;(2)Zp, = 1.P(A)=p,P(A)=1-p=qBernoulli试验Bernoulli分布X~B（1,p）>二项分布X～B(n,p)P(X = k}= Chp*(1- p)"-(k=0,1,..,n)

§2离散型随机变量 上节内容复习： 第二章 随机变量及其分布  离散型随机变量分布率律定义和性质  0; ⑴ 对任意的自然数n，有 pn   1. n ⑵ pn p  PX  x ,n  1,2, ; n n  Bernoulli 试验  Bernoulli 分布 X ~ B ( 1, p )  二项分布 X ~ B ( n, p ) PA  p， PA  1 p  q PX k C p  p  k n  k k n k   n 1   0， 1， ， 

第二章随机变量及其分布82离散型随机变量> Poisson 分布分布 X～P(a)Px-(k=0,1,2,..)

第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量  Poisson 分布分布    0， 1， 2，  !     e k k P X k k   X ~ P()

第二章随机变量及其分布S3随机变量的分布函数分布函数的定义分布函数的性质

§3 随机变量的分布函数 第二章 随机变量及其分布 •分布函数的定义 •分布函数的性质

第二章随机变量及其分布S3随机变量的分布函数分布函数的定义1）定义设X是一个随机变量，x是任意实数函数F(x) = P(X ≤x)X称为X的分布函数。xx0对于任意的实数x,xz(xix2)，有：P[x, <X ≤x}=P(X≤x,I-P(X≤x=F(x2)-F(x)xX1X2

一、分布函数的定义 1）定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数， 函数 F( x)  P{X  x} 称为 X 的分布函数． 对于任意的实数 x1 , x2 (x1< x2 ) ，有： { } P x1  X  x2 x1 x2 x X o 0 x x X §3 随机变量的分布函数 第二章 随机变量及其分布 { } { }  P X  x2  P X  x1 ( ) ( ).  F x2  F x1

第二章随机变量及其分布S3随机变量的分布函数2）例子12-2X例1设随机变量X 的分布律为：号Pk求X 的分布函数62解当x<-2时，{X≤x)是不可能事件のF(x) = P(X ≤ x)= P(O) = 0Xx012x-2

例 1 设随机变量 X 的分布律为: 求 X 的分布函数. X pk 6 1 -2 1 2 2 1 3 1 解 {X  x}是不可能事件， 0 1 x X x -2 2 F( x)  P{X  x} 2） 例 子 第二章 随机变量及其分布 §3 随机变量的分布函数  P{}  0. 当 x <-2 时

第二章随机变量及其分布S3随机变量的分布函数当-2≤x<1时,满足X<x的X取值为X=-2.F(x)=P(X≤ x) -P(X=-2)=321X1-21xPk-2 x.1.2362当1≤x<2时，满足X≤x的X取值为X=-2,或1,1F(x) = P(X≤ x} = P(X =-2或X=1)==+36

当 2  x  1时, 满足 X  x 的 X 取值为 X = -2, F( x)  P{X  x} x 1 X -2 x 2 当1  x  2时, 满足 X  x 的 X 取值为 X = -2, 或 1， F( x)  P{X  x} X pk 6 1 -2 1 2 2 1 3 1 第二章 随机变量及其分布 §3 随机变量的分布函数 . 3 1  P{X  2}   P{X  2或X  1} . 6 1 3 1  

第二章随机变量及其分布S3随机变量的分布函数同理当2≤x时，F(x) = P(X ≤ x) = P(X =-2或X = 1或X= 2) = 1.0.x<-2,1-2≤x<1,-31-21F(x) :=71≤x<2,x ≥ 2.O10-221x

同理当 2  x 时, F(x)  P{X  x}  P{X  2或X  1或X  2}  1.                   1, 2. , 1 2, 2 1 , 2 1, 3 1 0, 2, ( ) x x x x F x 第二章 随机变量及其分布 §3 随机变量的分布函数 -2 0 1 2 x 1

第二章随机变量及其分布83随机变量的分布函数说明：分布函数 F(x) 在 x=x,(k=1,2,...) 处有跳跃，其跳跃值为J Pk=P(X=xR).2-2X11二Pk32O02-2x

分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,.) 处有跳跃，其跳 跃值为 pk =P{X= xk }. §3 随机变量的分布函数 第二章 随机变量及其分布 说 明： X pk 6 1 -2 1 2 2 1 3 1 -2 0 1 2 x 1

第二章随机变量及其分布S3随机变量的分布函数例2一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任十同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量X的分布函数解（1）若x<0，则X≤x是不可能事件F(x)= P(X ≤ x}= P(O)= 0（2）若0≤x≤2,由题意，P0≤X≤x}=kxX

例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并 设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试 求随机变量 X 的分布函数. 解（1） 若 x < 0, 则 {X  x} F( x)  P{X  x} （2） 若0  x  2,由题意， X 第二章 随机变量及其分布 §3 随机变量的分布函数 P{0  X  x} 是不可能事件， , 2  k x  P()  0

第二章随机变量及其分布83随机变量的分布函数取x =2,由已知得P0≤X≤2=1,与上式对比+得k=1/4,即 P(0≤X≤X)=于是，0≤x≤2时xF(x) = P(X ≤x) = P(X<0) + P(0 ≤ X ≤x) =×(3）若x≥2，则(X≤x}是必然事件，于是F(x) =P(X ≤x) =1

于是，0  x  2时 F( x)  P{X  x} （3） 若 x  2 , 则 {X  x} 是必然事件，于是 F( x)  P{X  x}  1. . 4 1/ 4, {0 } 2 x 得k  即 P  X  x  取x  2,由已知得P{0  X  2}  1,与上式对比 §3 随机变量的分布函数 第二章 随机变量及其分布  P{X  0}  P{0  X  x} . 4 2 x 