《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第六章 参数估计（4/5）

第六章参数估计84正态总体统计量的分布-分布t-分布F-分布正态总体的样本均值与样本方差的分布

第六章 参数估计 §4 正态总体统计量的分布  2  分 布 t  分布 F  分布 正态总体的样本均值 与样本方差的分布

第六章参数估计84正态总体统计量的分布一、2-分布设(X,X,)为来自于正态总体N(0,1)的样本x? = X?+...+X则称统计量：所服从的分布为自由度是n的分布记为 2～(n)2分布的性质:1)若 X ～x(m),Y ～(n),且X,Y独立， 则有X+Y~x(m+n)

一 、 2  分 布 设(X1 , Xn )为来自于正态总体N(0,1)的样本， 则称统计量： . 所服从的分布为自由度是n的 2 分布  2 分布的性质： 1) 若 X ~  2 (m),Y ~  2 (n),且 X，Y 独立，则有 ~ ( ) 2 X  Y  m  n ~ ( ) 2 2 记为   n 2 2 1 2   X  Xn 第六章 参数估计 §4 正态总体统计量的分布

第六章参数估计84正态总体统计量的分布证明：设Z-X+Y,由于mx22x>0xe2mfx(x)=3A20x≤0ny122y>0e2)fr(v)=3-0y≤0

设 Z  X  Y ， 由于          0 00 2 2 1 2 1 2 2 x x e x f x m m x m X           0 00 2 2 1 2 1 2 2 y y e y n f y n y n Y  证明： 第六章 参数估计 §4 正态总体统计量的分布

第六章参数估计84正态总体统计量的分布设随机变量Z=X+Y的密度函数为f(z)，则有Z72-x=0f2(2)=[fx(x)fr(z-x)dxx >0, z-x >0-00(1)当 z≤0, f,(z)= 0.x(2) 当 z > 0, f,(z) =mXz-xn11比22dxJ(z-x)2e=T

设随机变量 Z  X Y 的密度函数为 f Z z，则有                     z n z x n m x m z x e dx n x e 0 m 2 1 2 2 2 1 2 2 ( ) 2 2 1 2 2 1   x z z  x  0 0           f Z z  f X x f Y z  x dx x  0, z  x  0 (1) z  0 f (z)  0. 当 ， z (2)当 z  0, f z (z)  第六章 参数估计 §4 正态总体统计量的分布

第六章参数估计84正态总体统计量的分布Z2ex (z-x)dxfz(2) =m+n(10)A222mn00-Odx二?m+n22 rdx作积分变换t==，dt=Z7当x=0时，t=0;当x=z时，t=1

                          z n m m n z n dx z x x m n e z 0 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2                        z n m m n z x z x dx m n e 0 1 2 1 2 2 2 2 2 2   f z Z z dx dt z x 作积分变换t  ，  当 x  0时，t  0； 当 x  z时，t  1． 第六章 参数估计 §4 正态总体统计量的分布

第六章参数估计84正态总体统计量的分布2z2Org β z(2)=m+n22m+n21P/g二m+n22由数学中B-函数的定义：B(s, t)={xs-(1-x)-'dx (s>0, t>0)以及B一两数与一-面数之间的关系：以。小

                          1 0 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 t z t zdt m n e z f z m n m n z n Z                          1 0 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 t t dt m n e z n m m n z m n   由数学中 函数的定义： 以及 函数与 函数之间的关系：   1   0 0 1 0 1 1        s t x x dx s t s t  ， ，       s t s t s t       ， 第六章 参数估计 §4 正态总体统计量的分布

第六章参数估计84正态总体统计量的分布m+nZ.z≥2eg可知，()=一m+n2 2nmm+nNFm+nHZ一222 z.222eNe二m+nm+nm+n()()A22m+nI2 2福22综上所述，我们有

                                     2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 m n m n m n e z m n z m n                  2 2 2 1 2 2 m n e z m n z m n  综上所述，我们有                           2 2 2 2 2 2 1 2 2 m n m n e z f z m n z m n 可知， Z  ，   第六章 参数估计 §4 正态总体统计量的分布

第六章参数估计84正态总体统计量的分布m+nZ122z>07em+nm+nf2(2)=32220Z≤0由此，我们得如果随机变量X与Y相互独立，且X ~x (m), Y~x2 (n),Z=X+Y,则Z~x (m+n)

由此，我们得                        0 0 0 2 2 1 1 2 2 2 z e z z m n f z z m n m n Z  如果随机变量 X 与Y 相互独立，且 X ~  2 m，Y ~  2 n， Z  X  Y， Z m  n 2 则 ~  第六章 参数估计 §4 正态总体统计量的分布

第六章参数估计84正态总体统计量的分布2)若×~×(n),则Ex2=n，Dx2=2n.Ex=X+...+X?证X, ~ N(0,1),EX, =0,DX, =1,EX? = DX, +(EX,)? =1,DX? -EX4-(EX?)=3-1=2, i=1,2, ·n所以 Ex =E(X)-EX,= ni=1i=1nDx2 = D(Zx,) -E1DX= 2ni=1i=1

2) ~ ( ), 2 2 若   n 证  2 DXi ( ) 1 2 2   n i 所 以 E E Xi ( ) 1 2 2   n i D D Xi 2 EX i 4 2 2 ( ) EX i  EX i  3  1  2, i  1,2, n   n i EXi 1 2   n i DXi 1 2 X ~ N(0,1), i 2 2 1 2   X  Xn  n  2n  0,  1, EX i DXi ( ) 1, 2  DXi  EX i  , 2 . 2 2 则 E  n D  n 第六章 参数估计 §4 正态总体统计量的分布

第六章参数估计84正态总体统计量的分布对于给定的α(0x(n)=αx的点x(n)为(n)分布的上α分位点当n充分大时，xa(n)～(za+V2n-1)2z.是标准正态分布的上α分位点

对于给定的(0    1)，称满足条件： ( ) ( ) . 的点  2 n 为 2 n 分布的上分位点  2   . ( 2 1) 2 1 ( ) 2 2 是标准正态分布的上 分位点 当 充分大时，      z n n  z  n  {    ( )}   2 2 P n 第六章 参数估计 §4 正态总体统计量的分布