《线性代数》课程教学资源（试卷试题）第四章 特征值、特征向量及二次型（典型例题详解）

例4.1设α=(1(1)求α，，及(α,β)，(α,)（2）间α与β及α与是否正交，并将α，β，单位化解（1）α=/+9+1=/1;IP= /1+1+4 = y6 ;I=/1+0+1=y2;(α,β)=α"β=(1,3,1)(α,)=α=(1,3,1)0=0-1（2）α与β正交，α与正交，111iT63β°=B1aQQ0T6I1~llallIβl12126(0)例4.2求与α=B:均正交的单位向量。1-11解设所求向量为=由题意知，(α,)=(β,)=0X(x即x+x +x, =0,[+x-x,=0,系数矩阵

例 4.1 设 1 3 1             ， 1 1 2               ， 1 0 1              （1）求  ，  ，  及 ( , )   ，( , )   ； （2）问  与  及  与  是否正交，并将  ，  ， 单位化. 解 （1）      1 9 1 11 ；      1 1 4 6 ；      1 0 1 2 ； 1 ( , ) (1,3,1) 1 0 2 T                    1 ( , ) (1,3,1) 0 0 1 T                   （2）  与  正交，  与  正交， 0 1 11 3 11 1 11                        ； 0 1 6 1 6 2 6                        ； 0 1 2 0 1 2                      例 4.2 求与 1 1 1             ， 1 1 1              均正交的单位向量。 解 设所求向量为 1 2 3 x x x             ，由题意知， ( , ) ( , ) 0       即 1 2 3 1 2 3 0, 0, x x x x x x          系数矩阵

。。1解得X, =X2XX=X，即=x=012将单位化可得=土即为所求记：/20例4.3试将下列向量组化为标准正交向量组。(1) α,o2解先正交化，取β, =α, (β,α,)β, =α2BIB.I2(β,α,)(β2,αg)β0β,=αsB.B,I°P,/I21再将β,ββ单位化，令1-32-3OEB-23

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 0 0 1 A                      解得 1 2 2 2 3 0 x x x x x          ，即 1 2 2 3 1 1 0 x x x x                         ， 记 1 1 1 0              ，将 1  单位化可得 0 1 1 2 1 2 0                      即为所求. 例 4.3 试将下列向量组化为标准正交向量组。 （1） 1 1 2 2              ， 2 2 1 0              ， 3 2 0 1             ； 解 先正交化，取 1 1 1 2 2                ； 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , ) 1 0                     ； 1 3 2 3 3 3 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 4 1 0 0 1 4 5 5 1 0 5                                                   ； 再将 1 2 3    , , 单位化，令 1 1 1 1 3 1 1 2 2 3 3 2 2 3                                    ；

(-2V5)5Kβ,525β,V5002/51524/5β3-453-3J515B.56V5则5152.5,即为所求1012100例4.4判断下列矩阵A=是否为正交矩阵2110(2211010000ATA=01解（法一）A=1011000可知A为正交矩阵.（法二）设A=(α,α,α），其中001110α, =α=a下T2(0)11（正且[=[α2=α=1, (α1,α,)=(α1,α,)=(α2,α,)=0 ,则α,α2,α,为标准正交向量组，故A为正交矩阵

2 2 2 2 5 5 2 1 5 1 5 5 0 0                                       ； 3 3 3 2 5 15 2 1 4 5 4 3 5 15 5 1 5 3                                     ； 则 1 2 3    , , 即为所求. 例 4.4 判断下列矩阵 1 0 1 2 1 0 0 2 1 1 0 2 2 A                     是否为正交矩阵. 解 （法一） 1 1 0 2 2 1 0 0 1 1 0 2 2 T A                 ， 1 0 0 0 1 0 0 0 1 T A A            ， 可知 A 为正交矩阵. （法二）设 1 2 3 A  ( , , )    ，其中 1 0 1 2 1 2                     ， 2 1 0 0             ， 3 0 1 2 1 2                     ， 且 1 2 3      1， 1 2 1 3 2 3 ( , ) ( , ) ( , ) 0          ， 则 1 2 3    , , 为标准正交向量组，故 A 为正交矩阵

例4.5设向量组α,α,αα线性无关，非零向量β与α,αα,α均正交，试证向量组α,ααα线性无关证明设kβ+ka,+kα,+ka,+kα,=0两边与β作内积，注意到),(α,β)=0,(i=可得k(β,β)=0,由于β为非零向量，可得k=0，进而有ka +ka, +ka,+ka,=0,又ααα线性无关，则k=k= =k=0因此β线性无关例4.6设A为正交矩阵，证明：A为正交矩阵证明由A=±10，可知A可逆，而由AA=AA-AE知A =|A|A-因此A(A)=(AA")(AA-")=AA'(A")=|A(A'A)-" =-(A'A)-" = E-" - E例4.7设α为n维列向量且αα=1，令A=E-2αα，求证A为对称的正交矩阵证明由于A=(E-2ααT)=ET-2(αα)=E-2ααT=A因此A为对称矩阵.又

例 4.5 设向量组 1 2 3 4     , , , 线性无关，非零向量  与 1 2 3 4     , , , 均正交， 试证 向量组 1 2 3 4      , , , , 线性无关. 证明 设 k k k k k           1 1 2 2 3 3 4 4 0， 两边与  作内积，注意到 ( , ) 0  i  ，（ i 1,2,34 ）， 可得 k( , ) 0    ， 由于  为非零向量，可得 k  0 ，进而有 k k k k 1 1 2 2 3 3 4 4         0 ， 又 1 2 3 4     , , , 线性无关，则 1 2 3 4 k k k k     0 因此 1 2 3 4      , , , , 线性无关. 例 4.6 设 A 为正交矩阵，证明： A  为正交矩阵. 证明 由 A   1 0 ，可知 A 可逆，而由 AA A A A E     知 1 A A A    因此 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) A A A A A A A A A A A A A A E E                     例 4.7 设  为 n 维列向量且 1 T    ，令 2 T A E    ，求证 A 为对称的正交矩阵. 证明 由于 ( 2 ) 2( ) 2 T T T T T T T A E E E A           因此 A 为对称矩阵.又

A' A=(E-2αα)?=E-2αα-2αα+4(αα)(aα)=E-4αα +4α(αα)α=E-4αα+4αα=E因此A为正交矩阵(232)4例4.8求下列矩阵A=12的特征值与特征向量(1 -3 1)解求特征值与特征向量，一般先令A-入E=0，求出特征值2入，然后再求解齐次方程组(A-2,E)x=0，其非零解即为对应于特征值2,的特征向量.令A-E=0，即[2-元3002[1-元入-10[1- 元225-元214-114-元11-3121-3 -21-21-21= (1- 2)[(5 - 元)(1- ) + 4) =(1- 2)(3 - 2) = 0得A的特征值为^=1，=M=3.当^=1时，解齐次线性方程组(A-E)x=0，由01)12(1 3213212A-E=10可得基础解系p3-30(000)1则p,为A的对应于=1的特征向量，而kP（k±0）为对应于=1的全部特征向量；当^==3时，解齐次线性方程组（A-3E)x=0，由(-130121201111A-3E=可得基础解系P2(13 2)(000)则p2为A的对应于==3的特征向量，而kP2（0）为对应于==3的全部特征向量.例4.9设α,β是矩阵A的属于特征值,的特征向量，且±，证明向量α+β不可能是矩阵A的特征向量

2 ( 2 ) 2 2 4( )( ) 4 4 ( ) 4 4 T T T T T T T T T T T A A E E E E E                          因此 A 为正交矩阵. 例 4.8 求下列矩阵 232 1 4 2 1 3 1 A             的特征值与特征向量 解 求特征值与特征向量，一般先令 A E    0 ，求出特征值 1 , ,  s ，然后再求 解齐次方程组 ( )    0 A E x i ，其非零解即为对应于特征值 i 的特征向量. 令 A E    0 ，即 2 2 3 2 1 1 0 1 0 0 1 4 2 1 4 2 1 5 2 1 3 1 1 3 1 1 2 1 (1 )[(5 )(1 ) 4] (1 )(3 ) 0                                        得 A 的特征值为 1  1， 2 3     3. 当 1  1 时，解齐次线性方程组 ( ) A E x   0 ，由 1 0 1 1 3 2 1 1 3 2 0 1 3 1 3 0 0 0 0 A E                          ，可得基础解系 1 1 1 3 1               p ， 则 1 p 为 A 的对应于 1  1 的特征向量，而 1 1 k p （ 1 k  0 ）为对应于 1  1 的全部特征向量； 当 2 3     3 时，解齐次线性方程组 ( 3 ) 0 A E x   ，由 1 3 2 1 0 1 3 1 1 2 0 1 1 1 3 2 0 0 0 A E                          ，可得基础解系 2 1 1 1 p             ， 则 2 p 为 A 的对应于 2 3     3 的特征向量，而 2 2 k p （ 2 k  0 ）为对应于 2 3     3 的全 部特征向量. 例 4.9 设  , 是矩阵 A 的属于特征值 1 2  , 的特征向量，且   1 2  ，证明向量    不可能是矩阵 A 的特征向量

证明（反证法）假设α+β是矩阵A的特征向量，则存在数入使得A(α+)=2(α+β)而Aα=α，Aβ=β因此A(α+β)=Aα+Aβ=^α+^βα+β=(α)也即()+(-)=0又因为αβ为属于不同特征值的特征向量，所以α,β线性无关，因此有0，0进而有M=M=M这与条件2矛盾，故向量α+β不可能是矩阵A的特征向量例4.10设入是矩阵A的特征值，x是A的对应于入的特征向量1是A-"的特征值，x是A-的对应于（1）证明：当A可逆时，一的特征向量：M元[ALA是A的特征值，x是A的对应于（2）证明：当A可逆时，的特征向量：元元(3)设f(x)=α+ax+αx+.+a,x"，证明f(a)是f(A)的特征值，x是f(A)的对应于f(2)的特征向量.证明（1）因为A+0，所以元+0又Ax = AxA-Ax = A-1x两边同乘以A"可得即X=^A-'x1A-x =所以?

证明 （反证法）假设    是矩阵 A 的特征向量，则存在数 3 使得 3 A( ) ( )         而 A   1 ， A    2 因此 1 2 A A A ( )             1 2 3          ( ) 也即 1 3 2 3 ( ) ( ) 0           又因为  , 为属于不同特征值的特征向量，所以  , 线性无关，因此有 1 3    0， 2 3    0 进而有    1 2 3   这与条件   1 2  矛盾，故向量    不可能是矩阵 A 的特征向量. 例 4.10 设  是矩阵 A 的特征值， x 是 A 的对应于  的特征向量 （1）证明：当 A 可逆时， 1  是 1 A  的特征值， x 是 1 A  的对应于 1  的特征向量； （2）证明：当 A 可逆时， A  是 * A 的特征值， x 是 * A 的对应于 A  的特征向量； （3）设 2 0 1 2 ( ) n n f x a a x a x a x      ，证明 f ( )  是 f A( ) 的特征值， x 是 f A( ) 的对应于 f ( )  的特征向量. 证明 （1）因为 A  0 ，所以   0， 又 Ax x   两边同乘以 1 A  可得 1 1   A Ax A x  即 1   x A x  所以 1 1   A x x 

因此是A-"的特征值，x是A-的对应于的特征向量1元A"=LA（2）由于AA =|AA-I可得4x=|44'x=↓x=4则元2A是的特征值，x是A的属于因此的特征向量，入元(3) 由于f(A) (a EaA,aa"a)=aox+a,Ax+a,Ax+...+a,A"x=ax+aax+a,ax++a,a"x=(a+aa+a,a?++a,a")x=f(a)x因此结论成立.例4.11设方阵A满足A=A，证明A的特征值只能是0或1证明设入为A的任一特征值，x是与入所对应的特征向量，则Ax=Ax因此Ax =A(Ax)= A(ax)= (Ax)= ^(2x)=xA'x= Ax = Ax即x=x, (2-2)x=0由于特征向量x0，所以（22-)=0，即=0或=1，结论得证.例4.12设n阶方阵A满足A=3A，证明：（1）A的特征值只能是0或3；（2）A-4E，A+E，2A+3E均可逆证明（1）设入为A的任一特征值，x是与入所对应的特征向量，则A'x= A(Ax)= A(x) = (Ax) = (x) = 1xAx=3Ax=32x

因此 1  是 1 A  的特征值， x 是 1 A  的对应于 1  的特征向量. （2）由于 1 * 1 A A  A 可得 * 1 A A A  则 * 1 1       A A x A A x x x 因此 A  是 * A 的特征值， x 是 * A 的属于 A  的特征向量. （3）由于 2 0 1 2 ( ) ( )      n n f A x a E a A a A a A x 2      0 1 2 n n a x a Ax a A x a A x 2      0 1 2    n n a x a x a x a x 2 0 1 2       ( ) ( )     n n a a a a x f x 因此结论成立. 例 4.11 设方阵 A 满足 2 A A  ，证明 A 的特征值只能是 0 或 1. 证明 设  为 A 的任一特征值， x 是与  所对应的特征向量， 则 Ax x   因此 2 2 A x A Ax A x Ax x x      ( ) ( ) ( ) ( )      2 A x Ax x    即 2   x x  ，( )    2 x 0 由于特征向量 x  0 ，所以 2 ( ) 0    ，即   0 或  1 ，结论得证． 例 4.12 设 n 阶方阵 A 满足 2 A A  3 ，证明： （1） A 的特征值只能是 0 或 3 ； （2） A E 4 ， A E ，2 3 A E  均可逆. 证明 （1）设  为 A 的任一特征值， x 是与  所对应的特征向量， 则 2 2 A x A Ax A x Ax x x      ( ) ( ) ( ) ( )      2 A x Ax x   3 3

得x=3x，(2-3)x=0由于特征向量x0，所以(2-3)=0，即=0或=33（2）由（1）可知4,-1,-2均不是A的特征值，2因此[A-4E|+0A+E|=|A-(-1)E+0[24+3E=2(4+号)=2|--)E*0-2所以A-4E，A+E，2A+3E均可逆(-122)例4.13设A=2 -1 -2(2 -2 -1（1）求A的特征值；（2）求2A+E的特征值：（3）求E－A-的特征值解（1）令A-E=02-1-元22222-元[1-元即2-2-2-1- 元-20-1-元-3- 元420-2-1-入0-2-1-2-2-1-28] (+3)(=(1-元 )[( 32^>从而可得A的特征值为=-5，==1.（2）由于A的特征值为=-5，==1，因此2A+E的特征值分别为μ =2 +1= -9, =2 +1=3=μ3.（3）由于A的特征值为=-5，==1，所以A-"的特征值为

得 2   x x  3 ，( 3 )     2 x 0 由于特征向量 x  0 ，所以 2 ( 3 ) 0     ，即   0 或   3. （2）由（1）可知 3 4, 1, 2   均不是 A 的特征值， 因此 A E   4 0 A E A E      ( 1) 0 3 3 2 3 2( ) 2 ( ) 0 2 2 n A E A E A E        ， 所以 A E 4 ， A E ，2 3 A E  均可逆. 例 4.13 设 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A                 ， （1）求 A 的特征值； （2）求 2A E 的特征值； （3）求 1 E A  的特征值. 解 （1）令 A E    0， 即 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 0 3 4 2 2 1 0 2 1 0 2 1                                  2             (1 )[( 3 )( 1 ) 8] ( 5)( 1) 0      从而可得 A 的特征值为 1  5 ， 2 3    1. （2）由于 A 的特征值为 1  5 ， 2 3    1， 因此 2A E 的特征值分别为 1 1       2 1 9， 2 2 3        2 1 3 . （3）由于 A 的特征值为 1  5 ， 2 3    1， 所以 1 A  的特征值为

112'5212==1=，进而可得E－A-的特征值为1.64 =1-元54=1-=0=4:2例4.14判断下列矩阵能否对角化，若能，请求出相似变换矩阵.(20013(1) A=-1101101-130(2) A=(-222)解n阶方阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量，从而判断三阶方阵是否能够对角化，只需求出其特征向量，看是否具有三个线性无关的特征向量即可.（1）令A-E=0，即02-元013-元=(2-2)(3-2)(1-2)=0101-元可得A的特征值元=2，元=3，2=1对于=2，解(A-2E)x=0由000011A-2E=01C10000可得基础解系

1 1 1 1 5       ， 2 3 2 1   1       ， 进而可得 1 E A  的特征值为 1 1 1 6 1 5       ， 2 3 2 1   1 0       . 例 4.14 判断下列矩阵能否对角化，若能，请求出相似变换矩阵. （1） 2 0 0 1 3 1 1 0 1 A             ； （2） 1 1 0 1 3 0 222 A             ． 解 n 阶方阵 A 可以对角化的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量，从而判 断三阶方阵是否能够对角化，只需求出其特征向量，看是否具有三个线性无关的特征向量即 可. （1） 令 A E    0 ，即 2 0 0 1 3 1 (2 )(3 )(1 ) 0 1 0 1                可得 A 的特征值 1   2， 2   3， 3  1 . 对于 1   2 ，解 ( 2 ) A E x   0， 由 0 0 0 1 0 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 A E                          ， 可得基础解系

10P=(1)对于=3，解（A-3E)x=0，由(-1 001000-10011A-3E=-2)0(10(00可得基础解系(0)1P2 =0对于=1，解A-3E)x=0，由00101012-101A-E=112010000可得基础解系01P, =12(由于A有3个互异特征值，则方阵A可对角化，(1 00101相似变换矩阵且P可逆，P=(Pi,P2,P)=2011(2 0 0)030使得P-"AP=A=(o 01(2）令A-E=0，即

1 1 0 1            p ； 对于 2   3 ，解 ( 3 ) A E x   0， 由 1 0 0 1 0 0 3 1 0 1 0 0 1 1 0 2 0 0 0 A E                          ， 可得基础解系 2 0 1 0            p ； 对于 3  1 ，解 ( 3 ) A E x   0， 由 1 0 0 1 0 0 1 1 2 1 0 1 2 1 0 0 0 0 0 A E                           可得基础解系 3 0 1 2 1              p . 由于 A 有 3 个互异特征值，则方阵 A 可对角化， 相似变换矩阵 1 2 3 1 0 0 1 ( , , ) 0 1 2 1 0 1               P p p p ，且 P 可逆， 使得 1 200 0 3 0 0 0 1 P AP               . （2）令 A E    0 ，即