《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第一章 概率与随机事件（4/4）

第一章概率与随机事件上节内容复习：道P(AB)= P(A)P(B|A)P(A, A, A.)= P(A) P(A,|A) P(A,|A,A, )... P(A./AA, .A.-.)P(B)=ZP(A.)P(B|AL)k=1

上节内容复习： PA B  PA B  PAPB A PA1 A2 An     P A1   P A2 A1   P A3 A1 A2   1 2 1  P An A A An PB        n k P Ak P B Ak 1   PB P AB 第一章 概率与随机事件

第一章概率与随机事件P(A,B)kP(AkIB)=kP(B)P(AK)P(BIAR)k = 1,2, .,nnZ P(A,)P(BIA)j=1

( | B)  k P A ( ) ( ) P B B k P A k n n j j P B A j P A k P B A k P A , 1,2, , 1 ( ) ( | ) ( ) ( | )      第一章 概率与随机事件

第一章概率与随机事件$4独立性一、独立性的定义例1袋中有a只黑球，b只白球.每次从中取出一球，令：A=第一次取出白球}，B={第二次取出白球！，分有放回和不放回情形讨论P(A),P(B),P(B A)bbP(A)P(B) =（1）有放回情形：-a+ba+bbP(B|A)=a+b

一、独立性的定义 例 1 袋中有 a 只黑球，b 只白球．每次从中取出 一球，令： A ={ 第一次取出白球 }， B ={ 第二次取出白球 }， 分有放回和不放回情形讨论 PA §4 独 立 性 a b b  （1）有放回情形：  P(A), P(B), P(B | A) PB a b b   PB A  a b b  第一章 概率与随机事件

84独立性第一章概率与随机事件(2）不放回情形：bbP(A)= -P(B)=-a+ba+bb-1而,P(B|A)=a+b-1由此例题你会得到什么结论？

（2）不放回情形：   a b b P A   PB  §4 独立性 a b b  而，PB A  1 1    a b b 由此例题你会得到什么结论？ 第一章 概率与随机事件

第一章概率与随机事件84独立性说明由例1，可知，两种情形中都有P(A) = P(B)P(BA)= P(B)在有放回情形有：P(B|A)+ P(B)在不放回情形有：这表明，在有放回情形，事件A是否发生对事件B是否发生在概率上是没有影响的，即事件A与B皇现出某种独立性在不放回情形，事件A是否发生对事件B是否发生在概率上是有影响的，即事件A与B呈现出不独立性。由此，我们引出事件独立性的概念

说 明 由例 1，可知，两种情形中都有 PB A  PB 这表明，在有放回情形，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性． 由此，我们引出事件独立性的概念 §4 独立性 在不放回情形有： 在有放回情形有： P(A)  P(B) 在不放回情形，事件 A 是否发生对事件 B 是否发 生在概率上是有影响的，即事件 A 与 B 呈现出不 独立性． PB A  PB 第一章 概率与随机事件

84独立性第一章概率与随机事件定义设A、B是两个随机事件，如果P(AB)= P(A)P(B则称 A 与 B是相互独立的随机事件,二、事件独立性的性质1）如果事件A 与 B 相互独立，而且P(A)>0则 P(B|A)= P(B)PLABP(B|A)==1P(B?P(A)

定义 设 A、B 是两个随机事件，如果 P A B   P A P B 则称 A 与 B 是相互独立的随机事件． 二、事件独立性的性质 1）如果事件A 与 B 相互独立，而且 PA  0 则 PB A  PB 第一章 概率与随机事件 §4 独立性       PB P A P AB P B A  

第一章概率与随机事件S4独立性2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；4相万独立不可能事件Φ与任意随机事件这个性质很重要！3)若随机事件A 与 B 相互独立，则A与 B、A与 B、A 与 B 也相互独立证明为方便起见，只证 A与B 相互独立即可P(AB) = P(A)- P(AB) = P(A)-P(A)P(B)= P(A)[1- P(B)= P(A)P(B)所以，事件 A与 B相互独立

§4 独立性 2）必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立． 3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则 A与 B、A 与 B、A 与 B 也相互独立. 证明 为方便起见，只证 相互独立即可． 这个性质很重要！  PA PAPB  PA1 PB  PA PAB 第一章 概率与随机事件 A与 B PAB  PAPB 所以，事件 A与 B相互独立．

S4独立性第一章概率与随机事件例2设事件A与 B满足:P(A)P(B)+0若事件A与 B相互独立，则ABΦ;若 AB =Φ，则事件 A 与 B 不相互独立（思考题）此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立

例 2 设事件 A 与 B 满足： PAPB  0 若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ； 若 AB =Φ，则事件 A 与 B 不相互独立．（思考题） 第一章 概率与随机事件 §4 独立性 此例说明：互不相容与相互 独立不能同时成立

第一章84独立性概率与随机事件证明由于事件A与 B相互独立，故P(AB)= P(A)P(B) + 0所以，AB去Φ若 AB =Φ,则 P(AB)= P(@)= 0但是，由题设P(A)P(B)± 0所以，P(AB)± P(A)P(B)这表明，事件A 与 B不相互独立

则 PAB  P   0 但是，由题设 PAPB  0 所以， PAB  PAPB 这表明，事件 A 与 B 不相互独立． 第一章 概率与随机事件 §4 独立性 若 AB ， 证明 由于事件 A与 B相互独立，故 PAB  PAPB  0 所以，AB  

第一章概率与随机事件S4独立性三、多个事件的独立性a1）三个事件的独立性：设A、B、C是三个随机事件[P(AB)= P(A)P(B如果A,B.C这三个事件两两独立P(BC)= P(B)P(C)P(AC)= P(A)P(C)P(ABC)= P(A)P(B)P(C则称A、B、C是相互独立的随机事件注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的．即：前三个等式的成立推不出最后一个等式：反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立，试想：n个随机事件的独立性的定义及性质

三、多个事件的独立性 设A、B、C是三个随机事件， §4 独立性 1）三个事件的独立性： 则称A、B、C是相互独立的随机事件．                             P AC P A P C P BC P B P C P AB P A P B 事件两两独立 A, B,C这三个 注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不 可的．即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反 之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立． 试想：n个随机事件的独立性的定义及性质。 P ABC   P AP BP C  如果 第一章 概率与随机事件