《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第六章 参数估计（3/5）

第六章参数估计83估计量的的评选标准我们注意到，在上一节中对于同一个未知参数，用不同方法可以得到不同的估计量.究竟采用哪个为好呢？这就涉及到用什么标准来评价估计量的问题.我们介绍三个常用的标准：1）无偏性；有效性；2）73）一致性

第六章 参数估计 §3 估计量的的评选标准 我们注意到，在上一节中对于同一个未知参 数，用不同方法可以得到不同的估计量.究竟采 用哪个为好呢？这就涉及到用什么标准来评价估 计量的问题.我们介绍三个常用的标准： 1）无偏性； 2）有效性； 3）一致性

第六章参数估计S3估计标准一、无偏性若=0X,,,X,)的数学期望存在，且Eé=,则称是θ的无偏估计量例1 X,.,X,是总体X～N(u,2)的样本,μ,α均未知试说明X,s分别是u的无偏估计量因为Ex=u，所以x是u的无偏估计量而 ES?=α2,Z(X,-X)是。"的无偏估计量.所以 S2=n1-

第六章 参数估计 § 3 估计标准 , ˆ ( , , ) ˆ ˆ 若   X1  Xn 的数学期望存在， 且E   . 则称 ˆ 是 的无偏估计量 一、无偏性 例1 X1 ,  , Xn 是总体X ~ N(, 2 )的样本，, ,   2 均未知 所以 X 是 的无偏估计量. ( ) . 1 1 2 1 所以 2  2是 的无偏估计量     n i Xi X n S 因为 EX  , , 2 2 而 ES   , , . 试说明X S 2 分别是  2 的无偏估计量

第六章参数估计S3估计标准考察 B,=-(X,-X)-1E(B,)=E/,之(x,-x)由于ni=ln-11(x-x)=En-le(s2) -"。2-nn因此, B,=-(x,-x)是总体方差2的有偏估计1

     n i Xi X n B 1 2 2 1 考 察由于               n i Xi X n E B E 1 2 2 1               n i Xi X n n n E 1 2 1 1 1   1 2 E S n n   1 2  n n   因此，   是总体方差 2 的有偏估计． 1 2 2 1      n i Xi X n B 第六章 参数估计 § 3 估计标准

第六章参数估计83估计标准例2 设总体 X存在 m阶矩，并设EXk=uk,(k =1,2,.,mX,…,X,是总体x的样本，又设A-≥xni=l是样本的k阶原点矩(k=1, 2,..., m)则A,是u的无偏估计量由于 E(4)=(x)u=ukni=l因此A,=-≥x,是总体的k阶原点矩μ的无偏估计.ni=l(k=1, 2, ..., m)

第六章 参数估计 § 3估计标准 设总体 X 存在 m 阶矩，并设 是样本的 k 阶原点矩, EX k   k ，   n i k k X i n A 1 1 由于因 此 是总体的 阶原点矩 k 的无偏估计． ni k k Xi k n A     1 1  k  1 ， 2 ，  ， m   k  1 ， 2 ，  ， m       ni k k X i n E A E 1 1      n i k E X i n 1 1   n i k n 1 1   k  k  1， 2， ， m  例 2 X 1 ,, X n 是总体X的样本，又设 则 是 的无偏估计量. Ak k

第六章参数估计S3估计标准例3设总体X服从区间[o，θ上的均匀分布，其中e>0为未知参数，X.,…,X,是从该总体中抽取的个样本.求θ的矩估计和极大似然估计，并验证是否是无偏估计00解EX:令x得的矩估计量为θ=2x2,0由于E(6)= E(2X) = 2E(x) = 2E(x)=2 =0.I2因此θ=2x是未知参数θ的无偏估计在上一节我们知道 e的极大似然估计量为é,=maxX,0,x<0,xX,的分布函数为,(x)=,0≤x<0,01,x ≥0

第六章 参数估计 § 3 估计标准   一个样本． 中 为未知参数， 是从该总体中抽取的 设总体 服从区间 ， 上的均匀分布，其 X Xn X 0 , , 0   1   由于 求 的矩估计和极大似然估计，并验证 因此 ˆ  2X 是未知参数 的无偏估计． E  E2X  ˆ    2EX  2 . 得 的矩估计量为 ˆ  X  2EX 2 2      , 例3 解 , 2  EX  , 2  令 X  是否是无偏估计. max , ˆ i i 在上一节我们知道 的极大似然估计量为 L  X Xi 的分布函数为             1, . ,0 , 0, 0, ( )    x x x x F x i

S3估计标准第六章参数估计由第三章第节极值分布知0,x<0.Xé,=max X,的分布函数为F(x)=1,0≤x<0A1,x≥0.é,=max X,的概率密度为1n(/)n-10≤x<0.0f(x) =其它.[0,a-1)Sar0On+1nn.00-nn+1n+10,不是θ的无偏估计量

第六章 参数估计 § 3 估计标准 i 的分布函数为 i  ˆ L  max X             1, . ,0 , 0, 0, ( )    x x x x F x n x x E x n n L d 1 ˆ 0 1                          1 1 1 n n n n n n   .  ˆ L不是 的无偏估计量 由第三章第5节极值分布知 i的概率密度为 i  ˆ L  max X            0, . , 0 , 1 ( ) 1 其它    x x n f x n

第六章参数估计S3估计标准例4 设总体X～N(u，),其中u已知，而。2>0为未知参数，X，,X，是从该总体中抽取的一个样本则α2_-(X,μ)是的无偏估计。ni=1解E(c)-E(2(x,-u)) --≥E(X, -μ)n i=li=11==-xnon这表明，"=(X,-μ)是总体方差。"的无偏估计

第六章 参数估计 § 3 估计标准   为未知参数， 是从该总体中抽取的一个样本． 设总体 ， ，其中 已知，而 X Xn X N , , ~ 0 1 2 2         . 1 ˆ 2 1 2 2 则    是 的无偏估计    n i Xi n 例4                 n i Xi n E E 1 2 1 2  ˆ        n i E Xi n 1 1 2  1 2 2   n   n 这表明，   是总体方差 2 的无偏估计． 1 2 1 2  ˆ       n i Xi n 解

第六章参数估计S3估计标准说明：如果未知参数有两个不同的无偏估计,与,则θ一定有无穷多个无偏做计这是因为，对任意的实数α，αé, + (1-α)0,一定是未知参数θ的无偏估计

第六章 参数估计 § 3 估计标准 则 一定有无穷多个无偏估计 ． 如果未知参数 有两个不同的无偏估计 与 ，    1  2 ˆ ˆ 这是因为，对任意的实 数  ，   1 2 ˆ 1 ˆ      一定是未知参数  的无偏估计． 说明：

第六章参数估计S3估计标准二、有效性若é,=(X,,..,X,),, -é,(X,..,X,)都是0的无偏估计量且D()≤D(①,)，则称较,有效D(é)=E(é-Eé)=E(é-)表示é与的偏离程度例5设总体X～N(u，2)，其中μ未知，Xi,X,,X,是从该总体中抽取的一个样本试验证：二a=X, +X3510251A, =+X ++X, +X+=X,+XXa12362都是未知参数u的无偏估计，并指出在这三个u的估计中，哪一个最有效？

第六章 参数估计 § 3 估计标准 , ( , , ) ˆ ˆ ( , , ) ˆ ˆ 1 1 1 2 2 1 的无偏估计量 若   X  Xn ，   X  Xn 都 是 . ˆ ˆ 且D( ˆ 1 )  D( ˆ 2 ), 则称 1 较 2 有效 二、有效性 设总体 X ~ N ，  2 ，其中  未知， X1 , X2 , X3 是从该总体中抽取的一个样本． 试验证： ; 2 1 10 3 5 1 ˆ  1  X1  X2  X3 ; 12 5 4 1 3 1 ˆ  2  X1  X2  X3 3 1 2 3 2 1 6 1 3 1  ˆ  X  X  X 计中，哪一个最有效？ 都是未知参数 的无偏估计，并指出在这三个 的 估 例5 2 1 2 1 1 1 - ) ˆ ) ( ˆ - ˆ ) ( ˆ D(  E  E  E   . ˆ 表示 1 与 的偏离程度

第六章参数估计S3估计标准解由于3($X+一X3E()-ElX1012335+E(x)-14+10u+24=4EE(X,)+E(X)-105(1xE(,)= EtX+1235-n51-3二E(x,)-+u++4+E(X,)+E(X,)-4=421-6(x+1-2E(a,)=EXt+-E(X.)+E(X,)++E(x.)=1u+u+4u=u62这表明，，，，，都是未知参数μ的无偏估计

解         1  1  2  3 2 1 10 3 5 1 E  ˆ E X X X         2  1  2  3 12 5 4 1 3 1 E  ˆ E X X X         3  1  2  3 2 1 6 1 3 1 E  ˆ E X X X       1 2 3 2 1 10 3 5 1  E X  E X  E X 由于         2 1 10 3 5 1       1 2 3 12 5 4 1 3 1  E X  E X  E X         12 5 4 1 3 1       1 2 3 2 1 6 1 3 1  E X  E X  E X         2 1 6 1 3 1 第六章 参数估计 § 3 估计标准 这表明， ˆ 1 ， ˆ 2 ， ˆ 3 都是未知参数  的无偏估计．