《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征（1/4）

第四章随机变量的数字特征S1数学期望82方差S3几种重要随机变量的数学期望和方差S4协方差及相关系数$5矩

第四章 随机变量的数字特征 § 1 数学期望 § 2 方差 § 3 几种重要随机变量的数学 期望和方差 § 4 协方差及相关系数 § 5 矩

第四章随机变量的数字特征(1)去掉最高、低分的启示算术平均数是最常用的技巧，平均数作为衡量标准科学合理吗？班级有30个学生，其中两个学生数学考试只得2分和10分。此外，有5个学生得90分，22个得80分，1个得78分。此时该班数学成绩的平均分是(2+10+5×90+22×80+78)/30~76.67(分)确实，该结果不能反映多数人的真实状况(80分左右合理）。去掉一个最低分，总平均约是79.2分去掉两个最低分，总平均则是81.7分。这似乎比较符合实际了

(1) 去掉最高、低分的启示 算术平均数是最常用的技巧，平均数作为衡量标 准科学合理吗？ 班级有30个学生，其中两个学生数学考试只得2分 和10分。此外，有5个学生得90分，22个得80分，1 个得78分。此时该班数学成绩的平均分是： (2 10  590  2280  78)/ 30  76.67(分) 确实，该结果不能反映多数人的真实状况(80分左 右合理）。去掉一个最低分，总平均约是79.2分， 去掉两个最低分，总平均则是81.7分。这似乎比较 符合实际了。 第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征演员竞赛：演员表演完后，先由10个（或若干个）评委亮分，裁判长总要去掉最高分和最低分，再用其余的8个数据的平均值作为最后得分。算术平均数有两个缺点：受异常值的影响；计算比较复杂（不能一眼看出）。去掉最高分或最低分，有“弄虚作假”之嫌，不见得都合适。平均数就是中等水平--是不合适的。上述30个学生的数学成绩中，总平均是76.67分。某同学得78分，超过平均数，似乎该是“中上”水平了，其实他是倒数第三名！

演员竞赛：演员表演完后，先由10个（或若干个） 评委亮分，裁判长总要去掉最高分和最低分，再用其 余的8个数据的平均值作为最后得分。 算术平均数有两个缺点：受异常值的影响；计算 比较复杂（不能一眼看出）。 去掉最高分或最低分，有“弄虚作假”之嫌，不见 得都合适。 平均数就是中等水平-是不合适的。 上述30个学生的数学成绩中，总平均是76.67分。 某同学得78分，超过平均数，似乎该是“中上”水 平了，其实他是倒数第三名！ 第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征怎样刻划“中等水平”呢？----中位数。例：上面的30个学生的数学成绩依大小排列后，第15位和16位都是80分，所以中位数是80分。那么78分低于此数，当然是中下水平无疑了。众数也是常常使用的代表数，即数据中重复出现次数最多的那个数据

第四章 随机变量的数字特征 怎样刻划“中等水平”呢？-中位数。 例：上面的30个学生的数学成绩依大小排列后，第 15位和16位都是80分，所以中位数是80分。那么78 分低于此数，当然是中下水平无疑了。 众数也是常常使用的代表数，即数据中重复出现次 数最多的那个数据

第四章随机变量的数特征比如，美国某厂职工的月工资数统计如下：（（美元）月工资数得此工资的人数1（总经理）1000080002（副总经理）2（助理）500052000121000189002380057002500

比如，美国某厂职工的月工资数统计如下： 月工资数（美元） 得此工资的人数 10000 1（总经理） 8000 2（副总经理） 5000 2（助理） 2000 5 1000 12 900 18 800 23 700 5 500 2 第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征如何来选取该厂的月工资代表数呢？经计算，平均值为1387美元，中位数为900美元，众数为800美元。工厂主为了显示本厂职工的收入高，用少数人的高工资来提高平均数，故采用1387美元。工会领导人则不同意，主张用众数800美元（职工中以拿每月800美元的人最多）1。而税务官则希望取中位数，以便知道目前的所得税率会对该厂的多数职工有利还是不利，以便寻求对策

如何来选取该厂的月工资代表数呢？ 经计算，平均值为1387美元，中位数为900美元，众 数为800美元。 工厂主为了显示本厂职工的收入高，用少数人的高 工资来提高平均数，故采用1387美元。 工会领导人则不同意，主张用众数800美元（职 工中以拿每月800美元的人最多）。 而税务官则希望取中位数，以便知道目前的所得 税率会对该厂的多数职工有利还是不利，以便寻求 对策。 第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数特征期望值(2)“伟大的”二例如，一个体户有一笔资金，如经营西瓜，风险大但利润高（成功的概率为0.7，获利2000元）；如经营工艺品，风险小但获利小（95%会赚，但利润为1000元）。究竟该如何决策？于是计算期望值。若经营西瓜，期望值E1=0.7*2000=1400元。而经营工艺品为E2=0.95*1000=950元所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，因它的期望值高

(2) “伟大的”期望值 例如，一个体户有一笔资金，如经营西瓜，风险 大但利润高（成功的概率为0.7，获利2000元）； 如经营工艺品，风险小但获利小（95％会赚，但 利润为1000元）。 究竟该如何决策？于是计算期望值。若经营西 瓜，期望值E1=0.7*2000=1400元。而经营工艺品 为E2=0.95*l000=950元。 所以权衡下来，情愿“搏一记” ，去经营西瓜， 因它的期望值高。 第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征S1数学期望·数学期望的定义随机变量函数的数学期望数学期望的性质

•数学期望的定义 •随机变量函数的数学期望 •数学期望的性质 §1 数学期望 第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征举一个用期望值进行决策的例子某投资者有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是买债券获取利息买股票的收益取决于经济形势：形势好（获利40000元）、形势中等（获利10000元、形势不好（损失20000元)如果是买债券（年利率为5%，即可得利息5000元又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%和20%试问应选择哪一种方案？

举一个用期望值进行决策的例子. 某投资者有10万元，有两种投资方案：一是购买股 票，二是买债券获取利息. 买股票的收益取决于经济形势：形势好(获利40000 元)、形势中等(获利10000元)、形势不好(损失20000 元) 如果是买债券(年利率为5％)，即可得利息5000元 又设经济形势好、中、差的概率分别为30％、50％和 20％ 试问应选择哪一种方案？ 第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征下面给出采用期望标准的解法买股票和买债券的收益期望值分别为EMV(α ) = 40000× 0.3 + 10000× 0.5+(-20000)×0.2=13000(元)EMV(α2)= 5000(元)按最大收益原则，取期望收益高的方案，淘汰期望收益低的方案，所以应采用购买股票的方案

下面给出采用期望标准的解法. 第四章 随机变量的数字特征 (-20000) 0.2 13000(元) EMV( 1 ) 40000 0.3 10000 0.5         按最大收益原则，取期望收益高的方案，淘汰期 望收益低的方案，所以应采用购买股票的方案. EMV( ) 5000( )  2  元 买股票和买债券的收益期望值分别为