《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布（4/5）

S5多维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命分别为随机变量XY，它们相互独立同分布。我们想知道系统寿命Z的分布。z = min(X,Y)1)2)z = max(X,Y)3)Z=X+Y这就是求随机变量函数的分布问题

1） §5 多维随机变量函数的分布 3） 在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的 分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命 分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。我们 想知道系统寿命 Z 的分布。 Z  min( X,Y ) Z  max(X,Y ) Z  X  Y 这就是求随机变量函数的分布问题。 2） 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布S5 多维随机变量函数的分布一般情形求随机变量函数分布的方法·和的分布·商的分布·极值分布

§5 多维随机变量函数的分布 •一般情形求随机变量函数分布的方法 •和的分布 •商的分布 •极值分布 第三章 多维随机变量及其分布

85多维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布一1般情形问题已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为f（x，y），g（x，y）是二元连续函数，欲求随机变量Z=g(X,)的概率密度。解题步骤：先求随机变量函数Z=g(X，Y)的分布函数Fz(2)= P(z ≤z) = P(g(X,Y)≤z) =[[ (x,y)dxdyg(x,y)≤z再求随机变量函数Z =g(X，Y)的密度函数fz(2)= F2(2)

解题步骤： 先求随机变量函数Z  gX， Y 的分布函数,   f z F z. Z g X Y Z Z   再求随机变量函数  ， 的密度函数 §5 多维随机变量函数的分布 一、一般情形问题 已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y) 的概率密度。 FZ z  PZ  z  PgX,Y   z    g x y z f x y x y ( , ) ( , )d d 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布例1设随机变量X与Y相互独立，X～N(o,1),Y～N(o,1)令z=x+y2，试求随机变量z的密度函数，解由题意，可知1e,xe(-8, +8)一fx(x)=2元121e2,ye(-, +o)fr(y):二12元由于X与Y是相互独立的，所以(X，Y)的联合密度函数为x"+y(x,，)=(-8<x, y<+8).02元

解     令 ，试求随机变量 的密度函数． 设随机变量 与 相互独立， ， ， ， ， Z X Y Z X Y X N Y N 2 2 ~ 0 1 ~ 0 1   由题意，可知   数 为 由 于X 与Y 是相互独立的，所以，X， Y 的联合密度函          , , 2 1 2 2 f x e x x X  §5 多维随机变量函数的分布 例1          , , 2 1 2 2 f y e y y Y             f x y e x y x y ， 2 ， 2 2 2 1  第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布例1（续）所以，Z=X2+Y2的分布函数为F;(2)= P(z≤z)=P/x*+"≤z)Fz(2)- 0若z≤0，则Fz(2)=Px+y2≤z)若z>0，则x?+yr(x, ylaxdy-2edxdyx?+y?≤z/x?+y?≤z

所以，Z  X 2 Y 2 的分布函数为 FZ z  PZ  z   P X Y  z 2 2 若z  0，则 FZ z  0 若z  0，则 FZ z  P X Y  z 2 2        x y z f x y x y 2 2 ， d d       x y z x y e x y 2 2 2 2 d d 2 1 2  §5 多维随机变量函数的分布 例1（续） 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布例1（续）a作极坐标变换x=rcos，y=rsine，则有fdojerdr-fe-FrarIFz(2)=2元0Fz(2)=jesrdrz>010z≤0所以，Z=VX2+Y2E的密度函数为22z>0f2(2)={ ze0z≤0

作极坐标变换 x  r cos ， y  rsin ， 则有       z r Z F z e r r 0 2 2 0 d d 2 1 2       z r e r r 0 2 d 2 §5 多维随机变量函数的分布             0 0 d 0 0 2 2 z e r r z F z z r Z 所以，Z  X 2 Y 2 的密度函数为           0 0 0 2 2 z ze z f z z Z 例1（续） 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布和的分布离散型随机变量和的分布01例2 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律为Y01X1-4011-85182令Z=X+Y，试求随机变量Z的分布律

二、和的分布 §5 多维随机变量函数的分布 例 2 Y X 0 1 1 4 1 0 2 8 1 8 5 设二维离散型随机变量X， Y 的联合分布律为 令 Z  X Y，试求随机变量Z的分布律． 1）离散型随机变量和的分布 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布解 由于X与Y的取值已知,Z =X+Y的取值为l,2,3P(Z -1) =P(X=1. Y=0)-++P(Z = 2) = P(X -1, Y=1)+ P(X=2, Y=0)1=0+二=—885-8P(Z = 3 = P(X =2, Y=1)=由此得Z=X+Y的分布律为3Z21Y0X511p81048141-85182

解 由于 X 与Y 的取值已知, Z  X  Y 的取值为 PZ  1   PX  1， Y  0 ； 4 1  PZ  2   PX  1， Y  1 PX  2， Y  0 8 1  0  PZ  3   PX  2， Y  1 1, 2, 3. ； 8 1  ； 8 5  由此得 Z  X Y的分布律为 Z 1 2 3 p 4 1 8 1 8 5 Y X 0 1 1 4 1 0 2 8 1 8 5 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布S5多维随机变量函数的分布例3设随机变量X与Y相互独立，且X～P(a),Y～P(a)令Z=X+Y，试求随机变量Z的分布律解由随机变量X与Y的取值都是0，1，2,可知随机变量Z=X+Y的取值也是0，1,2,而且,P(Z=n)= P(X+Y =n) =P)U(x=k, Y=n-k)k=0Zp(X=k, Y=n-k) -Zp(X=k)P(=n-k)k=0k=0an-k"Waie-a1.。-12-2k!(n -k)!k=0

例 3 令 ，试求随机变量 的分布律． 设随机变量 与 相互独立，且 ， Z X Y Z X Y X P Y P   ~ ( ), ~ ( ) 1 2 解 由随机变量 X 与Y 的取值都是0， 1， 2， ， 可知随机变量 Z  X  Y 的取值也是0， 1， 2， ， 而且， PZ  n  PX Y  n §5 多维随机变量函数的分布               n k P X k Y n k 0 ，         n k P X k Y n k 0 ，           n k P X k P Y n k 0          n k k n k e n k e 0 k 1 1 2 2 ! !     第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布例3（续）1Zβ =e-(ai+a2)at.az-kk!(n-k)!k=0-(ai+a2)nn!0Zat.a-k=k!(n-k)!n!k=0-(a,+22)Zchat.areae(a,+a,)"n!n!k=0即，P(z -n)-(a+.) .) μ-. 2.)n!结论：若随机变量X与Y相互独立，且 X～P(a ),Y~P(),则 Z=X+Y~P(a,+2)

           n k k n k k n k e 0 1 2 ! ! 1 1 2                n k k n k k n k n n e 0 1 2 ! ! ! ! 1 2     §5 多维随机变量函数的分布 例 3（续）          n k k k n k Cn n e 0 1 2 ! 1 2         n n e 1 2 ! 1 2         即，       1 2 !  1   2      e n P Z n n n  0， 1， 2，   则 若随机变量 与 相互独立，且 ~ ( ), ~ ( ), 2 1   Y P X Y X P 结论： Z  X Y ~ P ( 1  2)． 第三章 多维随机变量及其分布