《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征（2/4）

上一节课内容复习1）熟练掌握期望定义,会求随机变量函数的数学期望（下面三组公式是本章最重要的基础公式EX-ZEX = [xf(x)dxXkPki=1设Y=g(X),g(x）是连续函数8g(x)pk; EY =J g(x)f(x)dx则 EY=8k-1若 Z = g(X,Y)Zg(x,y,)py; Ez -则 EZ =g(x, y) f(x, y)dxd)i,j=1-8-8

上一节课内容复习 1）熟练掌握期望定义,会求随机变量函数的数学期望. （下面三组公式是本章最重要的基础公式）     i 1 k k EX x p    EX  xf ( x)dx 设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，    ( ) ; EY  g( x) f ( x)dx 1     k k k 则 EY g x p 若 Z  g( X ,Y ) ( , ) ; , 1     i j i j i j 则 EZ g x y p       EZ  g( x, y) f ( x, y)dxdy

2）掌握数学期望的性质,会用性质求期望1)Ec=cc是常数若a≤X≤b,则 a≤EX<b.2) E (aX +b) = aEX + b3) E (aX + bY)= aEX + bEYE(Za,X,)-Za,EX,i=1i14)若X,Y独立，则 EXY=EXEY（反之不然）

2）掌握数学期望的性质,会用性质求期望      n i n i E ai Xi ai EXi 1 1 ( ) 若 a  X  b， 则 a  EX  b. 1) E c  c c是常数. 2) E (aX  b)  aEX  b 3) E (aX  bY )  aEX  bEY 4) 若 X,Y 独立，则 EXY  EXEY （反之不然）

第四章随机变量的数特征S2方差·方差的定义·方差的性质·切比雪夫不等式

§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 •方差的定义 •方差的性质 •切比雪夫不等式

第四章随机变量的数字特征82方差一、方差的定义在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度可用EIX-EXI，但不方便；所以通常用E(X一EX)来度量随机变量X的取值与其均值EX的偏离程度1) 定义设X是随机变量，若E(XEX)存在，称其为随机变量X的方差(Variance），记作DX,或Var（X），即：DX = Var(X) = E(X - EX)/DX称为标准差离散型:DX =E(X-EX)=Z(x-EX)·Pkk=1连续型： DX=「(x-EX)"f(x)dx

一、方差的定义 第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度， 可用E|X-EX|，但不方便；所以通常用 2 DX Var(X)  E(X  EX ) DX 称为标准差. 设 X 是随机变量，若 存在， 2 E(X  EX )       1 2 ( ) k xk EX pk    DX  (x  EX) f (x)dx 2 2 DX  E(X  EX ) 2 E(X  EX ) 来度量随机变量X的取值与其均值EX的偏离程度. 称其为随机 1) 定义 离散型： 连续型： 变量 X 的方差(Variance) ，记作 DX, 或 Var ( X ) ， 即：

第四章随机变量的数字特征82方差DX = EX2 -(EX)2）方差公式证明DX = E(X - EX)2= E(X? - 2(EX)X +(EX))= EX2 - 2(EX)EX +(EX)= EX?- 2(EX) +(EX)= EX?-(EX)EX? = DX +(EX)由此式还可得D

第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 2) 方差公式 证明 由此式还可得 2 DX  E(X  EX ) ( 2( ) ( ) ) 2 2  E X  EX X  EX 2 2  EX  2(EX )EX  (EX ) 2 2 2  EX  2(EX )  (EX ) 2 2  EX  (EX ) 2 2 EX  DX  (EX ) 2 2 DX  EX  (EX )

第四章随机变量的数字特征S2方差例1甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：X：甲击中的环数：Y：乙击中的环数：9X8100.30.20.5PkY89100.20.40.4Pk试问哪一个人的射击水平较高？

第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 例1 X 8 9 10 k p 0.3 0.2 0.5 Y 8 9 10 k p 0.2 0.4 0.4 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出: X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数； 试问哪一个人的射击水平较高？

第四章随机变量的数字特征82方差例1（续）解比较两个人击中的平均环数甲击中的平均环数为EX =8×0.3±9 ×0.2±10×0.5 =9.2乙击中的平均环数为EY=8×0.2±9×0.4±10×0.4=9.2因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两个人击中环数的方差分别为DX = (8 - 9.2)2 ×0.3 + (9 - 9.2)2 ×0.2 + (10 - 9.2)2 ×0.5 = 0.76DY = (8 - 9.2)2 ×0.2 + (9 - 9.2) ×0.4 + (10 - 9.2)2 × 0.4 = 0.624由于 DY< DX，这表明乙的射击水平比甲稳定

第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 例1（续） 解 比较两个人击中的平均环数: 甲击中的平均环数为 乙击中的平均环数为 EX  8  0.3  9  0.2  10  0.5  9.2 EY  8  0.2  9  0.4  10  0.4  9.2 由于 DY < DX ，这表明乙的射击水平比甲稳定． DX (8 9.2) 0.3 (9 9.2) 0.2 (10 9.2) 0.5 0.76 2 2 2           DY (8 9.2) 0.2 (9 9.2) 0.4 (10 9.2) 0.4 0.624 2 2 2           因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一 样的，但两个人击中环数的方差分别为

第四章随机变量的数字特征一方差的性质DX = E(X -EX).1)DX≥0.若c是常数，则Dc= 02)D(aX + b)= a’DX.3)D(aX + bY)= a'DX + b’DY+2abE(X - EX)(Y -EY),若X,Y相互独立,则D(aX+bY)=a"DX+b’DY证3）D(aX + bY) = E[aX +bY- E(aX +bY)]- E[a(X - EX) +b(Y - EY)]- Ea(X - EX) +b"(Y -EY)" + 2ab(X -EX)(Y - EY)= a DX + b"DY + 2abE(X -EX)(Y - EY)

二、方差的性质 第四章 随机变量的数字特征 证3） 2 DX  E( X  EX ) 2) D(aX  b) 1) DX  0, 若 c 是常数，则 Dc  0. 3) D(aX  bY ) 若 X ,Y 相 互 独 立 ， D(aX  bY )   2  E aX  bY  E(aX  bY )   2  E a(X  EX )  b(Y  EY )  ( ) ( ) 2 ( )( ) 2 2 2 2  E a X  EX  b Y  EY  ab X  EX Y  EY 2 ( )( ) 2 2  a DX  b DY  abE X  EX Y  EY ( ) . 2 2 则 D a X  b Y  a D X  b D Y . 2  a DX a DX b DY 2 2    2abE(X  EX )(Y  EY )

第四章随机变量的数字特征82方差E(X - EX)(Y -EY) = 0若 X,Y独立，则a故: D(aX+ bY)== a DX + b DY + 2abE(X - EX)(Y -EY)=a'DX +b'DY4) DX = 0 ← P[X = c} = 1,c = EX.令 Y =(X-EX)/ VDX,则 EY=0, DY=1.称Y是随机变量X的标准化了的随机变量

第四章 随机变量的数字特征 称 Y 是随机变量 X 的标准化了的随机变量. 令Y  (X  EX )/ DX , E(X  EX )(Y  EY )  0 故：D(aX  bY )  2 ( )( ) 2 2  a DX  b DY  abE X  EX Y  EY . 2 2  a DX  b DY 若 X,Y 独立，则 4）DX  0  P{X  c}  1,c  EX . 则 EY = 0, DY = 1. §2 方差

S2方差第四章随机变量的数特征例 1设X,Y～U[0,1]，且相互独立求EIX-YI,DIX-YI解1,0 <x<1,1,0 <y<1,fr(y)fx(x) =二0,其它.0,其它.y1,0<x<1,0<y<1,f(x,y) =10,其它0x

第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 例 1 设X,Y ~ U[0,1]，且相互独立. 解    < <  0, . 1,0 1, ( ) 其 它 x f X x    < < < <  0, . 1,0 1,0 1, ( , ) 其 它 x y f x y x y 0 1 1    < <  0, . 1,0 1, ( ) 其 它 y f y Y 求 E | X Y |, D | X Y |