《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征（3/4）

上一节课内容复习熟练掌握方差的定义和性质：会用切比雪夫不等式估计概率；熟记常用分布的期望值、方差值、方差的定义DX = Var(X) = E(X - EX)= EX?-(EX)8离散型：DX -E(x-EX)"·Pkk=18连续型:DX =(x-EX)"(x)dx0方差是度量随机变量X的取值与其均值EX的偏离程度EX? = DX +(EX)会用期望值、方差值求积分

上一节课内容复习 熟练掌握方差的定义和性质;会用切比雪夫不等式估计 概率；熟记常用分布的期望值、方差值. 2 DX Var(X)  E(X  EX ) 2 2  EX  (EX )    DX  (x  EX) f (x)dx 2 离散型： 连续型：       1 2 ( ) k DX xk EX pk 一、方差的定义 方差是度量随机变量X的取值与其均值EX的偏离程度 2 2 EX  DX  (EX ) 会用期望值、方差值求积分

二、方差的性质DX≥0，若 c 是常数，则Dc=0.1)D(aX + b)= a'DX.2)D(aX +bY) = a'DX + b'DY3)+2abE(X - EX)(Y - EY)若 X,Y相互独立,则 D(aX+bY)= a2DX +b’DY4) DX = 0 ≤ P(X = c =1,c = EX.三、定理（切比雪夫不等式）（Chebyshev不等式）设随机变量X有数学期望EX=u，方差DX=α2则对任意 >0,有 }≤ /;P(lX-μk)≥1-02 /2

2) D(aX  b) 1) DX  0, 若 c 是常数，则 Dc  0. 3) D(aX  bY ) 若 X , Y 相 互 独 立 ， ( ) . 2 2 则 D a X  b Y  a D X  b D Y . 2  a DX a DX b DY 2 2    2abE(X  EX )(Y  EY ), 二、方差的性质 4）DX  0  P{X  c}  1,c  EX . 三、定理（切比雪夫不等式） (Chebyshev不等式) EX  , 则对任意   0, | |  / ; 2 2 有 P X        | |  1 / . 2 2 P X        设随机变量 X 有数学期望 , 2 方差 DX  

第四章随机变量的数特征s4协方差及相关系数·协方差的定义·协方差的性质·相关系数的定义·相关系数的性质

§4 协方差及相关系数 第四章 随机变量的数字特征 •协方差的定义 •协方差的性质 •相关系数的定义 •相关系数的性质

第四章随机变量的数字特征84协方差、协方差1）协方差的定义称 Cov(X, Y) = E(X- EX)(Y-EY)=EXY-EXEY为随机变量X,Y的协方差Cov(X, X)=-DX2）相关系数的定义Cov(X,Y)Pxy=DXDY称为随机变量X,Y的相关系数Pxy是一个无量纲的量

第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 一、协方差 称 Cov( X, Y ) = E( X – EX )( Y – EY ) = E XY –EX EY 为随机变量 X,Y 的协方差. DX DY Cov X Y X Y ( , )   Cov( X, X )=DX 称为随机变量 X,Y 的相关系数,  XY 是一个无量纲的量. 1）协方差的定义 2）相关系数的定义

第四章随机变量的数学特征S4协方差若pxy=0，称 X,Y不相关，Φ此时 Cov(X,Y)=0.若X，Y独立，则X，Y不相关.（反之，不然）3）定理证明由数学期望的性质若X，Y独立,EXY-EXEY所以Cov(X,Y) = 0.注意若 E(X-EX)(Y-EY)± 0 即 EXY-EXEY+0则X，Y一定相关，且X，Y一定不独立

第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 证明 E XY = EX EY 所以 Cov( X,Y ) = 0. 由数学期望的性质 3) 定理 若X，Y 独立，则 X , Y 不相关.(反之，不然) 若  XY  0， 称 X,Y 不相关， 此时 Cov( X，Y ) = 0 . 若X，Y 独立， 注意 若 E( X – EX )(Y - EY ) 则X，Y一定相关，且 X，Y 一定不独立.  0 即 EXY-EXEY  0

第四章随机变量的数字特征84协方差二、十协方差的性质COV(X, Y) =E(X-EX)(Y-EY)1) Cov(X,Y) = Cov(Y, X)2) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y);3) Cov(aX+bY , cZ) = acCov(X, Z)+bcCov(Y, Z):4)D(aX + bY) = a'DX + b'DY + 2abCov(X,Y)nZa,DX,+2D(Za;X,) =Ea,a,Cov(X,X,)i=-1i-11≤i<j≤n5)X，Y不相关GCov(X,Y) = 0D(aX + bY) = a DX +b'DY0EXY - EXEY

二、协方差的性质 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 1) Cov( X,Y ) = Cov( Y, X ) 2) Cov(aX，bY) 3) Cov(aX+bY , cZ) 5) X，Y不相关 ( ) . 2 2 EXY  EXEY D a X  b Y  a D X  b D Y  Cov ( X ,Y )  0      ( ) 1 n i D ai Xi        i j n i j i j n i ai DXi a a Cov X X 1 1 2 2 ( , ) 2 ( , ) 2 2 4)D(a X  b Y )  a D X  b D Y  abCov X Y COV( X, Y ) = E( X – EX )( Y – EY ) = acCov(X , Z)+bcCov(Y, Z); = abCov(X，Y)；

84协方差第四章随机变量的数特征三、相关系数的性质px/≤ 1.1)2)[Pxr|=1台存在常数a,b使P[Y=a+bX}=1.证明留给大家思考e=E[Y -(a +bX)]= EY? + b'EX2 + a2 -2aEY -2bEXY +2abEX求a，b使e达到最小Qe=2a+2bEX-2EY=0 = a = EY -bEXda令de= 2bEX2 - 2EXY + 2aEX = 0abD

三、相关系数的性质 证明 留给大家思考 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 1)  1.  XY 2)  1  a,b P{Y  a  bX}  1.  XY 存在常数 使 2 e  E[Y  (a  bX)] EY b EX a 2aEY 2bEXY 2abEX 2 2 2 2                        2 2 2 0 2 2 2 0 2 bEX EXY aEX b e a bEX EY a e 求a，b 使 e 达到最小. 令  a  E Y  bEX

第四章随机变量的数字特征S4协方差2bEX2 - 2EXY +2aEX = 0将a=EY一bEX，代入第二个方程得bEX? - EXY +(EY -bEX)EX = 0EXY-EXEYCov(X,Y)故b=DXEX?-(EX)得Cov(X,Y)b。 =DXCov(X,Y)a, = EY-b,EX = EY-EXDX

第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 将 a  EY  bEX , 代入第二个方程得 2 2 EX (EX) EXY EXEY b   故  ( ) 0, 2 bEX  EXY  EY  bEX EX  , ( , ) DX Cov X Y  得 2 2 2 0 2 bEX  EXY  aEX  . ( , ) ; ( , ) 0 0 0 DX Cov X Y a EY b EX EY EX DX Cov X Y b      

第四章随机变量的数字特征S4协方差min E[Y -(a + bX)]? = E[Y -(a + b,X)])a,b+Cov(x,)-x. Cov(x,)=E(Y-EY+EXDXDXCov(X,Y)-E((Y-EY)-(X-EX)DXCov(X,Y)Cov(X,Y)= DY +DX- 2Cov(X,Y)(DX)2DXCov"(X,Y)_ Cov"(X,Y)= DY+DXDX

第四章 随机变量的数字特征    2 , min E[Y (a bX)] a b 2 0 0 E[Y  (a  b X)] 2 ) ( , ) ( , ) ( DX Cov X Y X DX Cov X Y  E Y  EY  EX   2 ) ( , ) (( ) ( ) DX Cov X Y  E Y  EY  X  EX   DY DX Cov X Y DX Cov X Y DY ( , ) 2 ( , ) 2 2    2 2 ( ) ( , ) DX Cov X Y  DX  DX Cov X Y Cov X Y ( , )  2 ( , ) §4 协方差

第四章随机变量的数字特征S4协方差Cov(X,Y)-DYPy·DX.DYEDYDXDXCov(X,Y)= (1- p)DY= min E[Y -(a +hX)}a,bDXDY即 min E[Y-(a+bX) = (1-p)DYa,b1)1-p≥0,，即px≤1.由上式得现在证明：若Pxy|=1 = 存在常数a,b使 P[Y =a+bX}=1E[Y -(a. + b,X)} = 0由上面知此时

第四章 随机变量的数字特征 DX Cov X Y DY ( , ) 2   DX DX DY DY XY     2  (1 XY )DY 2       2 , min E[Y (a b X ) ] a b (1 X Y )DY 2 即   由上式得 1) 1 0, 2   XY   1 若  XY  1. 即  XY [ ( )] 0 2 E Y  a0  b0 X  §4 协方差 DX DY Cov X Y X Y ( , )   2 , min E[Y (a bX)] a b    现在证明：  存 在 常 数 a, b 使 P{Y  a  b X }  1 由上面知此时