晋中学院：《高等代数》课程教学资源（建模案例汇编）

高等代数建模案例汇编晋中学院数学系2021年5月

高等代数建模案例汇编 晋中学院数学系 2021 年 5 月

目录前言.案例一，“活用”行列式定义。案例二．Euler的四面体问题+1案例三.赢得矩阵.案例四.矩阵的乘积在有向图问题的应用.6案例五交通网络流量分析问题案例8案例六。配方问题12案例七．利用向量的线性相关性求根式方程的解15案例八．利用向量的线性相关性求不定积分16案例九．投入产出问题，17案例十：平板的稳态温度分布问题20案例十一．CT图像的代数重建问题22案例十二.化学方程式配平问题25案例十三.互付工资问题27案例十四.平衡价格问题.30案例十五.电路设计问题33案例十六.平面图形的几何变换.36案例十七．压应用矩阵编制HiII密码.39案例十八．显示器色彩制式转换问题案例六42案例十九．人员流动问题.44案例二十：金融公司支付基金的流动47案例二十一。选举问题50

目 录 前言.1 案例一.“活用”行列式定义.2 案例二. Euler 的四面体问题.3 案例三. 赢得矩阵.5 案例四. 矩阵的乘积在有向图问题的应用.6 案例五. 交通网络流量分析问题案例. 8 案例六. 配方问题. 12 案例七. 利用向量的线性相关性求根式方程的解. 15 案例八. 利用向量的线性相关性求不定积分. 16 案例九. 投入产出问题. 17 案例十. 平板的稳态温度分布问题. 20 案例十一. CT 图像的代数重建问题. 22 案例十二. 化学方程式配平问题. 25 案例十三. 互付工资问题. 27 案例十四. 平衡价格问题. 30 案例十五. 电路设计问题. 33 案例十六. 平面图形的几何变换. 36 案例十七. 应用矩阵编制 Hill 密码. 39 案例十八. 显示器色彩制式转换问题案例六. 42 案例十九. 人员流动问题. 44 案例二十. 金融公司支付基金的流动. 47 案例二十一. 选举问题. 50

...52案例二十二．简单的种群增长问题...55案例二十三．一阶常系数线性齐次微分方程组的求解附录：提供了一些可供练习和参考的案例

案例二十二. 简单的种群增长问题. 52 案例二十三. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解. 55 附录：提供了一些可供练习和参考的案例

前言高等代数是数学与应用数学专业的一门重要的基础课，它对学生思维能力、逻辑推理能力和运算能力的培养，以及后续课程的学习起着非常重要的作用。但是这门课程比较抽象，概念多，理论证明比较麻烦，对刚上大学的学生来说很难接受。学生普遍反映高等代数难学无用，针对多年的教学实践，我们在教学中针对不同的内容设计一些教学实例，力求接近生活实际又能体现代数的作用，让学生体会到，其实高等代数与我们的生活密切相关，可以为我们解决实际中的许多问题。在学习高等代数的过程中，大家会发现代数在生活和实践中都有不可缺少的位置。通过具体应用的实例教学，学生接受知识更快，并且有了主动探究问题实质的动力和兴趣，对于枯燥定理的学习也有了更深层次的理解。在项目实施与开展的过程中，结合教学与实践，项目组成员共同努力下，收集了二十多个容易理解的案例.此项工作仍然在继续而且会一直继续下去，并将其推广到其他数学课程的教学中去，通过实践教学，为适应社会需求，培养应用型人才奠定一些必备的基础，尽我们的微博之力。一些案例已经逐步融入课堂教学中，通过案例的引入，大大提高了学生学习高等代数课程的兴趣，激发了学生求知的欲望，也是与传统教学相比之下，教学创新的一大亮点，很受师生欢迎，当然这些案例和各类数学建模竞赛的题目相比，确实显得简单，但对于初次学习高等代数或线性代数的学生来说，如果学生能通过这些案例加深对高等代数以及线性代数基本概念、理论和方法的理解，培养数学建模的意识，大胆进行创新创业项目的申报与开展，那么我们教改项目《将数学建模融入高等代数教学及推动数学教学改革》的初步的目的也就基本达到了。近几年来全国已开始了按这种方向和思路的数学教学尝试，特别是借助于计算机及数学软件技术的数学建模教学与竞赛活动深受广大学生、教师和社会的欢迎，也说明了把数学建模的思想和方法融入数学教学确实是一种行之有效的素质教育方法。1

1 前 言 高等代数是数学与应用数学专业的一门重要的基础课,它对学生思维能力、 逻辑推理能力和运算能力的培养,以及后续课程的学习起着非常重要的作用。但 是这门课程比较抽象,概念多,理论证明比较麻烦,对刚上大学的学生来说很难接 受。学生普遍反映高等代数难学无用,针对多年的教学实践,我们在教学中针对不 同的内容设计一些教学实例,力求接近生活实际又能体现代数的作用,让学生体 会到,其实高等代数与我们的生活密切相关,可以为我们解决实际中的许多问题。 在学习高等代数的过程中,大家会发现代数在生活和实践中都有不可缺少的位 置。通过具体应用的实例教学,学生接受知识更快,并且有了主动探究问题实质的 动力和兴趣,对于枯燥定理的学习也有了更深层次的理解。 在项目实施与开展的过程中，结合教学与实践，项目组成员共同努力下，收 集了二十多个容易理解的案例.此项工作仍然在继续而且会一直继续下去，并将 其推广到其他数学课程的教学中去，通过实践教学，为适应社会需求，培养应用 型人才奠定一些必备的基础，尽我们的微博之力。一些案例已经逐步融入课堂教 学中，通过案例的引入，大大提高了学生学习高等代数课程的兴趣，激发了学生 求知的欲望，也是与传统教学相比之下，教学创新的一大亮点，很受师生欢迎， 当然这些案例和各类数学建模竞赛的题目相比, 确实显得简单. 但对于初次学习 高等代数或线性代数的学生来说，如果学生能通过这些案例加深对高等代数以及 线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识,大胆进行创新创业 项目的申报与开展，那么我们教改项目《将数学建模融入高等代数教学及推动数 学教学改革》的初步的目的也就基本达到了。 近几年来全国已开始了按这种方向和思路的数学教学尝试，特别是借助于计 算机及数学软件技术的数学建模教学与竞赛活动深受广大学生、教师和社会的欢 迎，也说明了把数学建模的思想和方法融入数学教学确实是一种行之有效的素质 教育方法

案例一“活用”行列式定义某市打算在第“十二”五年规划对三座污水处理厂进行技术改造，以达到国家标准要求。该市让中标的三个公司对每座污水处理厂技术改造费用进行报价承包，见下列表格（以1万元人民币为单位）：在这期间每个公司只能对一座污水处理厂进行技术改造，因此该市必须把三座污水处理厂指派给不同公司，为了使报价的总和最小，应指定哪个公司承包哪一座污水处理厂？设这个问题的效率矩阵为，[192416D=17 20 15192117根据题目要求，相当于从效率矩阵中选取来自不同行不同列的三个元素“和”中的最小者！从行列式定义知道，这样的三个元素之共有31=6(项)，如下：[19 2416[192416192416172015]D,=17 [20 15D=172015D=[19 21 [17][1921[17][19 2] 17①19+20+17=56②19+15_21-55③24+17+17=58[192416][192416[192416]17 20 [152015172015D17DsDe=[1921]17[19] 2117192117④16+17+21=5424+15+19=58@15+20+19=55由上面分析可见报价数的范围是从最小值54万元到最大值58万元。由④得到最小报价总数54万元，因此，该城市应选定④即公司I污水处理厂C公司Ⅱ污水处理厂A公司Ⅲ污水处理厂B2

2 案例一“活用”行列式定义 某市打算在第“十一”五年规划对三座污水处理厂进行技术改造，以达到国 家标准要求。该市让中标的三个公司对每座污水处理厂技术改造费用进行报价承 包，见下列表格(以 1 万元人民币为单位)．在这期间每个公司只能对一座污水处 理厂进行技术改造，因此该市必须把三座污水处理厂指派给不同公司，为了使报 价的总和最小，应指定哪个公司承包哪一座污水处理厂? 设这个问题的效率矩阵为， 根据题目要求，相当于从效率矩阵中选取来自不同行不同列的三个元素“和”中 的最小者!从行列式定义知道，这样的三个元素之共有 31=6(项)，如下： 由上面分析可见报价数的范围是从最小值 54 万元到最大值 58 万元。由④得到最 小报价总数 54 万元，因此，该城市 应选定④即

案例二Euler的四面体问题问题如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler（欧拉）提出的解建立如图2.1所示坐标系，设A，B，C三点的坐标分别为（a,br,C），（aa,bz,c）和（aa,ba,C），并设四面体O-ABC的六条棱长分别为l,m,n,p,9,r.由立体几何知道，该四面体的体积V等于以向量OA,OB,Oc1组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V。的一.而6abcV =(oAxOB),OC =a2 b, c2abscab,c于是得6V =a2b2C将上式平方，得[a,b,C3bc[abc]Jar36V2=a2b2cab,C2a2b,C3ab,ca3α? +b? +cajaz +bb, + cc2ajas + b,b, + cic3a? +b3 +c?=a,az +bb, +c,c,a,ay+b,b,+c2csa?+b+caa+bb,+ccaza+b,b,+cc根据向量的数量积的坐标表示，有OA.OA=ai+b2+c,OA.OB=aa2+bb,+CiC2,OA.OC=a,a,+bb,+cC,OB.OB=a +b3+c?OB.o=aza+bb,+cc,Oc.oC=a+b3+c于是3

3 案例二 Euler 的四面体问题 问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由 Euler（欧 拉）提出的. 解 建 立 如 图 2.1 所 示 坐 标 系 ， 设 A ， B ， C 三 点 的 坐 标 分 别 为 （a1,b1,c1）,( a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并设四面体 O-ABC 的六条棱长分别 为l,m,n, p,q,r.由立体几何知道，该四面体的体积 V 等于以向量    OA,OB,OC 组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积 V6的 1 6 .而   . 3 3 3 2 2 2 1 1 1 6 a b c a b c a b c V  OAOB OC  于是得 6 . 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a b c a b c a b c V  将上式平方，得 . 36 2 3 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2 2 a a b b c c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a a b b c c a a b b c c a b c a b c a b c a b c a b c a b c V                      根据向量的数量积的坐标表示，有 , . , , ,2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 OB OC a a b b c c OC OC a b c OA OC a a b b c c OB OB a b c OA OA a b c OA OB a a b b c c                         于是

OA.OAOA.OBOA.OCOA.OBOB.OBOB.OC36V2=(2.1)OA.OCOB.OCoc.oc由余弦定理，可行OA.OB=p-q.coso=P+q'-n同理2q+r?_OA.OC= P*+r?-m?OB.OC=22将以上各式代入（2.1）式，得p?+r?-m?p?+q?-n?p22p'+r-1?p"+q?-n?p236V2(2.2)22p°+r?_p?p?+r?-m?r222这就是Euler的四面体体积公式应用：一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为1=10m,nF15m,IF=12m,p=14m,q=13m,r=11m.则p2 +r2 -m2 = 46,p2 +r2 -12 = 95.p2+q2-n22=110.5,222代入（2.1）式，得196110.546110.51699536V2==1369829.75.4612195于是V2~38050.82639~(195m)2即花岗岩巨石的体积约为195m。古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积。4

4 36 . 2 OA OC OB OC OC OC OA OB OB OB OB OC OA OA OA OB OA OC V           （2.1） 由余弦定理，可行 . 2 cos 2 2 2 p q n OA OB p q         同理 . 2 , 2 2 2 2 2 2 2 q r l OB OC p r m OA OC         将以上各式代入（2.1）式，得 . 2 2 2 2 2 2 36 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r p r m p r l p r l p p q n p q n p r m p V              （2.2） 这就是 Euler 的四面体体积公式. 应用 ：一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为 l=10m, m=15m, n=12m, p=14m, q=13m, r=11m. 则 95. 2 2 2 2 46, 2 2 2 2 110.5, 2 2 2 2        p  q  n p r m p r l 代入（2.1）式，得 1369829.75. 46 95 121 110.5 169 95 196 110.5 46 36V 2   于是 2 38050.82639 (195 ) . 3 2 V   m 即花岗岩巨石的体积约为 195m 3。古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测 量其六条棱长去计算金字塔的体积

案例三赢得矩阵田忌和齐王赛马的故事，学生在语文课本中都学过，最后田忌以两胜一负赢得这场比赛．双方约定出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛马3次.已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操胜券．齐王及田忌在排列赛马出场顺序时，各取下列6种策略（方案）之一：（上，中，下）（上，下，中）、（中，上，下）、(中，下，上)、(下，中，上)、(下，上，中)每一场比赛中齐王赢加一分，齐王输减一分，共比赛三场．若将这6种策略依次从1到6编号，则可写出齐王的赢得矩阵：(3 1111-1-13111-1131A=11131-1-111131(1-11113)其中，行代表齐王策略，列代表田忌策略．比如，αi6=-1，说明齐王采用策略6，即下、上、中顺序出马，而田总采用策略1，即上、中、下顺序出马.这样我们从这个赢得矩阵里就很清晰地看出双方马的出场顺序和比赛结果，实践题：逻辑判断问题甲、乙、内、丁四人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这四本书的厚度以及他们四人的阅读速度差不多，因此，四人总是同时交换书，经三次交换后，他们四人读完了这四本书，现已知：（1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书：（2）内读的第一本书是丁读的最后一本书。问四人的阅读顺序是怎样的？（提示：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为A,B,C,D则根据题设条甲乙丙丁件可以列出初始矩阵D1B234(ABCD号）。然后来分析矩阵中各位置的书名代5

5 案例三 赢得矩阵 田忌和齐王赛马的故事，学生在语文课本中都学过，最后田忌以两胜一负赢 得这场比赛．双方约定出上、中、下 3 个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛 马 3 次．已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操胜券．齐王及田忌在排列 赛马出场顺序时，各取下列 6 种策略（方案）之一： (上，中，下)、(上，下，中)、(中，上，下)、 (中，下，上)、(下，中，上)、(下，上，中) 每一场比赛中齐王赢加一分，齐王输减一分，共比赛三场．若将这 6 种策略依 次从 1 到 6 编号，则可写出齐王的赢得矩阵：              1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 A 其中，行代表齐王策略，列代表田忌策略．比如， 1 a16   ，说明齐王采用 策略 6，即下、上、中顺序出马，而田忌采用策略 1，即上、中、下顺序出马．这 样我们从这个赢得矩阵里就很清晰地看出双方马的出场顺序和比赛结果． 实践题：逻辑判断问题 甲、乙、丙、丁四人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换， 这四本书的厚度以及他们四人的阅读速度差不多，因此，四人总是同时交换书， 经 三 次 交 换 后 ， 他 们 四 人 读 完 了 这 四 本 书 ， 现 已 知 ： （1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书； （2）丙读的第一本书是丁读的最后一本书。 问四人的阅读顺序是怎样的？ （提示：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为 A,B,C,D,则根据题设条 件可以列出初始矩阵 然后来分析矩阵中各位置的书名代 号）。 1 2 3 4 甲 乙 丙 丁       D B A B C D

案例四矩阵的乘积在有向图问题的应用如图1是有四个顶点八条弧的有向图，它可表示某航空公司可在四个城市间的运行图，这里顶点看做城市，城市i到有航班，则i到有一条弧，否则就没有弧，它也可以表示某物资在四个城市的转移路线图。C图 1原理：建立一个nxn矩阵A=（a,），如果i到j有一条弧，则a=l；否则，a,=0。它反映了图中顶点之间的相邻关系，称其为（顶点）邻接矩阵，则图1的邻接矩阵bcdaUdo11o问题：设某航空公司在四个城市间的航行运行图如图1，若某记者从城市d出发有几条经三次航行到达城市c的路线；有几条经4次航行回到城市d的路线？分析：考察图1的邻接矩阵的幂A=(a)：其中α)的值表示从城市i到j经过两次航行到达j的线路数，若记A*=(a），则a)的值表示从城市i到j经过两次航行到达的线路数。通过计算可得：(6253)201331江533A26601336253于是从城市d出发经三次航行到达城市c的路线数α=3条，具体为6

6 案例四 矩阵的乘积在有向图问题的应用 如图 1 是有四个顶点八条弧的有向图，它可表示某航空公司可在四个城市间 的运行图，这里顶点看做城市，城市i 到 j 有航班，则i 到 j 有一条弧，否则就没 有弧，它也可以表示某物资在四个城市之间的转移路线图。 原理：建立一个n  n矩阵 ij n n A a   ( ) ，如果i 到 j 有一条弧，则 ij a =1；否则， ij a =0。 它反映了图中顶点之间的相邻关系，称其为（顶点）邻接矩阵，则图 1 的邻接矩 阵 a b c d        0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 d c b a A 问题：设某航空公司在四个城市间的航行运行图如图 1，若某记者从城市d 出发， 有几条经三次航行到达城市c 的路线；有几条经 4 次航行回到城市d 的路线？ 分析：考察图 1 的邻接矩阵的幂   ( ) 2 2 ij A  a ：其中 2 ij a 的值表示从城市i 到 j 经过 两次航行到达 j 的线路数，若记   ( ) k ij k A  a ，则 k  ij a 的值表示从城市i 到 j 经过两 次航行到达 j 的线路数。通过计算可得：                      6 2 5 3 2 6 6 2 5 3 5 3 6 2 5 3 1 3 3 1 4 0 2 2 2 2 3 1 1 3 3 1 2 0 1 1 0 2 2 0 1 1 1 1 2 0 1 1 2 3 4 A ，A ，A 于是从城市d 出发经三次航行到达城市c 的路线数 3 43 a =3 条，具体为： 图 1 a b c d

d→c→d→c,d→b→a→c,d→c→a→c,而从d出发经4次航行回到城市d的路线数α4)=3，具体为：d→c→d→c→d,d→b→a→c→d;d→c→a→c→d实践题1有一个心理学家做了如下的老鼠实验：于前次的实验中，走向右边的老鼠中，有80%在下次实验中仍走向右边；走向右边的老鼠中，有60%在下次实验中走向右边。（1）试求其转移矩阵：（2）如果在第一次实验中有50%的老鼠走向右边，试求在第三次实验，有多少老鼠走向右边？假设有一家租车公司有三个门市，顾客可以从其中任一门市租车而在任一2[0.80.20.2门市还车，如果P=0.1 0.70.3其中P,表示从j门市租的车在i门市还的概率，，[0.1 0.1 0.5]则P12=0.2表示的是多少？7

7 d  c  d  c;d  b  a  c;d  c  a  c; 而从d 出发经 4 次航行回到城市d 的路线数 4 44 a =3，具体为： d  c  d  c  d;d  b  a  c  d;d  c  a  c  d. 实践题 1 有一个心理学家做了如下的老鼠实验：于前次的实验中，走向右边的老鼠 中，有 80%在下次实验中仍走向右边；走向右边的老鼠中，有 60%在下次实验 中走向右边。（1）试求其转移矩阵；（2）如果在第一次实验中有 50%的老鼠走 向右边，试求在第三次实验，有多少老鼠走向右边？ 2 假设有一家租车公司有三个门市，顾客可以从其中任一门市租车而在任一 门市还车，如果 P= 0.8 0.2 0.2 0.1 0.7 0.3 0.1 0.1 0.5       ，其中 Pij 表示从 j 门市租的车在 i 门市还的概率， 则 P12=0.2 表示的是多少？