南京大学：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第4章 函数逼近的插值法与曲线拟和法 4.4 三次样条插值 4.5 曲线拟和的最小二乘法

4.4三次样条插值 前面我们根据区间[ab]上给出的节点做 插值多项式Ln(x)近似表示f(Xx)。一般总 以为Ln(x)的次数越高,逼近f(x)的精度 越好,但实际并非如此,次数越高,计 算量越大,也不一定收敛。因此高次插 值一般要慎用,实际上较多采用分段低 次插值

4.4 三次样条插值 ◼ 前面我们根据区间[a,b]上给出的节点做 插值多项式Ln(x)近似表示f (x)。一般总 以为Ln(x)的次数越高，逼近f (x)的精度 越好，但实际并非如此，次数越高，计 算量越大，也不一定收敛。因此高次插 值一般要慎用，实际上较多采用分段低 次插值

4.4.1分段插值 已知(x,y),j=01,n2判断x∈[x21,x !f(x)用x1,x,]上的现性插值函数表示 计算机上实现u←-x,,若u<x取j= 即x∈[x,x(若u≤x0,也选j=1,则外插) 若≤x2,取j=2

4.4.1 分段插值 , 2 [ , ] ( , 1 ) 1, ( ) [ , ] , , 0,1,..., , [ , ] 2 0 1 0 1 1 1  =   =   = =  − − u x j x x x u x j u x u x j f x x x x y j n x x x j j j j j j 若 取 即 ，若 也选 ，则外插 计算机上实现 ，，若 取 则 用 上的现性插值函数表示。 已知（ ） 判断

分段线性插值 般的,x11≤u≤x1,则线性插值函数为 l=y1+(-x1)(y-y=1)(x-x1) 这是因为 X-x X-X X X:=x 1+(x-x )(y-y=1)/

分段线性插值 ( )( )/( ) ( )( )/( ) , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − − − − − − − = + − − − − − + − − = = + − − −   j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j y x x y y x x y x x x x y x x x x y u y u x y y x x x u x 这是因为 一般的， 则线性插值函数为

分段线性插值 算法: 1输入x2y(i=012,n) 2按k=1,2,,m做 (1)输入插值点u (2)对于j=1,2,,n做 如果u≤x,则

分段线性插值 如果 则 对于 做 输入插值点 按 做 输入 算法： j i i u x k m x y i n  = = = (2) j 1,2,...,n (1) u 2. 1,2,..., 1. , ( 0,1,..., )

分段线性插值 (-x1=1)(y-y=1) 2输出u,ν 分段插值函数 x)x∈(xa,x (x)x∈(x1,x2) x x)x∈(x, x n-12wn

分段线性插值             = = + − − − − − − − − ( ) ( , ) ...... ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 , 1 ( )( )/( ) 1 2 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 0 n n n j j j j j j I x x x x I x x x x I x x x x I x u v v y u x y y x x 分段插值函数 输出

X-X X-X 其中Ⅰ x x X -X y1+(x-x1)(y-y=1)x1-x1-) ■缺点:I(ⅹ)连续,但不光滑,精度较低,仅在 h=mx{h=x-x1}足够小才能较好的逼近 l≤jn

( )( )/( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − − = + − − − − − + − − = j j j j j j j j j j j j j j j y x x y y x x y x x x x y x x x x 其中I ◼缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在 max{ 1 }足够小才能较好的逼近。 1 −   = j = j − j j n h h x x

分段三次 Hermite插值 上述分段线性插值曲线是折线,光滑性 差,如果交通工具用这样的外形,则势 必加大摩擦系数,增加阻力,因此用 hermite分段插值更好

分段三次Hermite插值 ◼ 上述分段线性插值曲线是折线，光滑性 差，如果交通工具用这样的外形，则势 必加大摩擦系数，增加阻力，因此用 hermite分段插值更好

分段三次 Hermite插值 二次 Hermite插值x∈[x-12x,时 H3(r=a(x)y-+a (x)yi+Bi-(x)f+B,(rf u-x u-x /1(l) +2 u-x (a)=(1+2-,")-,)2 B1=B,()=(l-x1)hn B2=B/(n)=(-x),)

分段三次Hermite插值 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (1 2 )( ) ( ) (1 2 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j h u x B u u x h u x B u u x h u x h u x A u h u x h u x A u H x x y x y x f x f Hermite x x x − = = − − = = − − − = = + − − = = + = + +  +   − − − − − − − − − −         令 三次 插值 时

分段三次 Hermite插值算法 则v=4y+A2y+Bf1+B2f 算法: 1输入x,f,∫(=0,1,n); 2计算插值 (1)输入插值点u, (2)对于j=1,2,,n做 如果u≤x则计算A,A,B1,B2 =A1+A2+B1f/1+B2 3输出u,v

分段三次Hermite插值算法 输出 。 如果 则计算 对于 做 输入插值点 计算插值 输入 （ ）； 算法： u v v A f A f B f B f u x A A B B j n u x f f j n j j j j j j j j 3. , ; , , , ; (2) 1,2,..., (1) ; 2. 1. , , 0,1,..., 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 = + +  +   =  = − − j j j j v = A y + A y + B f  + B f  则 1 −1 2 1 −1 2

例题 例设f(1)=2,f(2)=3,f()=1,f(2)=-1, 求满足条件的 Hermite插值多项式。 解:x=1,x1=2,h=2-1=1则 A=(1+2(x-1)(x-2)2=(2x-1)(x-2) A2=(1+2(x-2)x-1)2=(2x-3)x-1)2 B1=(x-1)x B2=(x-2)x-1)

例题 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 0 1 ( 2)( 1) ( 1)( 2) (1 2( 2))( 1) (2 3)( 1) (1 2( 1))( 2) (2 1)( 2) 1, 2, 2 1 1 (1) 2 (2) 3 (1) 1 (2) 1 = − − = − − = + − − = − − = + − − = − − = = = − = = =  =  = − B x x B x x A x x x x A x x x x x x h Hermite f f f f 解： 则 求满足条件的 插值多项式。 例 设 ， ， ，