《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿）克莱姆法则（克拉默法则）

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非齐次与齐次线性方程组的概念 aux,+a12x2++aunt=b 211 +0 22~2 +…+a2 设线性方程组 nn ……………………………… Inl tanx 2++annx=b 若常数项1,b2,…,b不全为零则称此方程组为非 齐次线性方程组;若常数项b,b2,…b2全为零 此时称方程组为齐次线性方程组 上或

       + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念

生一、克拉默法则 如果线性方程组 1x1+a1x,+…+W1x,= nn 21 十a2X+…+a ann er amx,+an2-x2++am xn=b 1112 · 的系数行列式不等于零 .\。卩…a2 2n≠0 nI 上

一、克拉默法则 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 =  0

那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的,解 可以表为 D D D x1= x,= D D 3 D n D 其中D,是把系数行列式D中第j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即 11 ..llin D 〓································· b nI n,j-1 n n,+1 n 上或

. D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 (1)

证明 王用D中第冽元素的代数余子式4,4y…,4 依次乘方程组()的n个方程得 (aux,+ax,+.+a,x,A,=bA ay+…+a,X 21 nx)42=b241 。。。。。。。·。。··。·。·。。a (anx, +am x,++ax,A=b n 在把M个方程依次相加,得 上或

证明 ( ) ( ) ( )       + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j  Anj 在把 n 个方程依次相加，得

∑14kx+… 得;+…+ n k=1 ∑b4, k=1 由代数余子式的性质可知,上式中x的系数等于D, 而其余x,(i≠)系数均为;又等式右端为D 庄于是Dx=D(=12," 王当D≠0时,方程组()有唯一的一个解 D D ,X3 D D D n D

, 1 1 1 1 1 1     = = = = =        + +       + +      n k k k j n n k j k n k j n k k j k j n k k k j b A a A x  a A x  a A x 由代数余子式的性质可知, Dx D ( j 1,2, ,n). j = j =  . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 x D, 上式中 j的系数等于 而其余x (i j)的系数均为0; i  . 又等式右端为Dj 于是 (2) 当 D  0 时,方程组 (2) 有唯一的一个解

由于方程组(2)与方程组()等价,故 D D2 ;三 D D D D 3 D D 也是方程组的(1)解 上或

由于方程组 (2) 与方程组 (1) 等价, 故 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 也是方程组的 (1) 解

王二、重要定理 定理1如果线性方程组1)的系数行列式D≠0, 则(1)一定有解,且解是唯一的 定理2如果线性方程组无解或有两个不同的 王解,则它的系数行列式必为零 上或

二、重要定理 定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . (1) (1) D  0, 定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. (1)

上齐次线性方程组的相关定理 1x1+a122+…+ =0 a21x1+a22+…+a2nxn=0 (2) anx1+an2x2+…+anxn=0 定理如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D≠0则齐次线性方程组(2)没有非零解 上或

齐次线性方程组的相关定理 (2) 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D  0 则齐次线性方程组 没有非零解. (2) (2)

定理如果齐次线性方程组()有非零解则它 的系数行列式必为零 系数行列式D=0 a1x1+a1x,+…+a1x=0 nn a21x1+a12x2+…+a12,xn=0 nn anx1+anx2+…+amxn=0 有非零解 上或

定理 如果齐次线性方程组 (2) 有非零解,则它 的系数行列式必为零.        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     有非零解. 系数行列式 D = 0