西南财经大学：《经济数学基础（微积分）》课程教学资源（PPT课件）第四章 导数的应用 第6节 函数作图的基本步骤与方法

§4.6函数作图的基本步骤与方法 利用函数的性态如函数的单调性、极值、凹性、 拐点、渐近线及基本性质如周期性、对称性等;再 利用描点特殊选点)作图,就可比较准确地作出函数图 形.描绘函数图形的一般步骤是: (1)确定函数y=f(x)的定义域,讨论其周期性和对称性; (2)确定曲线的渐近线;

1 §4.6 函数作图的基本步骤与方法 利用函数的性态如函数的单调性、极值、凹性、 拐点、渐近线及基本性质如周期性、对称性等; 再 利用描点(特殊选点)作图,就可比较准确地作出函数图 形. 描绘函数图形的一般步骤是: (1)确定函数 y = ƒ(x) 的定义域, 讨论其周期性和对称性; (2)确定曲线的渐近线;

(3)求f(x)=0和f"(x)=0在函数定义域内的全部 实根及f(x)和f"(x)不存在的点,并用这些根和点 把函数的定义域分成几个子区间,以确定函数的单 调区间、凹性区间、极值和拐点 (4)根据需要,在各部分子区间内选取图形上的关键 点(如极值点、拐点与坐标轴之交点及间断点等),并 补充一些各部分区间内的特殊点,有利于决定图形变 化趋势的点 (5)根据以上讨论,列表、描点并作出函数y=f(x)的 图形

2 f x ( ) 0 = f x ( ) 0 = f x ( ) f x ( ) (3)求 和 在函数定义域内的全部 实根及 和 不存在的点, 并用这些根和点 把函数的定义域分成几个子区间, 以确定函数的单 调区间、凹性区间、极值和拐点. (4)根据需要, 在各部分子区间内选取图形上的关键 点(如极值点、拐点与坐标轴之交点及间断点等), 并 补充一些各部分区间内的特殊点, 有利于决定图形变 化趋势的点. (5)根据以上讨论, 列表、描点并作出函数 y = ƒ(x)的 图形

例32作函数f(x)2ze2的图形 解(1)定义域D=(-∞,+∞) (2)因∫(x)=f(x,则f(x)为偶函数,其图形关于y轴对 称,从而只讨论∫(x在0,+∞)的情形 1 (3)∵当x→+∞时,im 0 x→}+o y=0是曲线的一条水平渐近线 (4)f'(x)=- √2z e2=0,得唯一驻点x=0 (x+1)(x-1) f"(x)=2兀 2=0,得x=1

3 例32 作函数 的图形. 2 2 1 ( ) 2 x f x e − = 解 (1)定义域 D = − + ( , ) (2)因ƒ(–x) = ƒ(x), 则ƒ(x)为偶函数, 其图形关于 y 轴对 称, 从而只讨论 ƒ(x) 在 [0, ) +  的情形 2 2 1 (3) , lim 0 2 x x x e − →+ 当 时 → + =  =y 0是曲线的一条水平渐近线 2 2 (4) ( ) 0, 2 x x f x e −  = − = 令 得唯一驻点 x = 0 2 2 ( 1)( 1) ( ) 0, 1. 2 x x x f x e x + − −  = = = 令 得

用点x=1将区间+∞)分成两个子区间(0,1)与(+),并列表如下 0 0 f"(x) 0 f(x)极大值万z∧拐点 √2ze

4 x 0 (0, 1) 1 0 – – – – – 0 + ƒ(x) 极大值 拐点 (1, ) +  f x ( ) f x ( ) 1 (1, ) 2 e 1 2 用点 将区间 ， 分成两个子区间 与 并列表如下： 1 [0 ) (0,1) (1, ), x = +  +

(5)描出点(0,一= √2 (1, √2z 兀e (6)综合上述讨论,可画出函数 在y轴右侧的图形,再按图形 关于轴对称,画出y轴左侧的 图形.如左图: 0.3 0.2 0.1

5 1 1 (5) (0, ),(1, ) 2 2   e 描出点 (6)综合上述讨论, 可画出函数 在 y 轴右侧的图形, 再按图形 关于y轴对称, 画出y轴左侧的 图形. 如左图: o x y –2 –1 1 2 0.1 0.2 0.3 0.4 • • •

例32作函数f(x)=x+ 的图形 解(1)定义域D=(-∞-1)∪(-1,1)∪(,+∞) (2)x=±l为无穷间断点.而f(-x)=-f(x,则f(x为奇函数, 其图形关于原点对称,从而只讨论∫(x)在0a,+∞)的情形 (3)当x→时,y→,所以x=1是一条铅垂渐近线b2-4c -lim/(x)=lim(+ )=1 x→0 x→0 x2-1 2 TO=lim[f(x)-ax]= lim(x+2-x)=0 x→0 x→0 y=x是曲线的一条斜渐近线 2x2+ (4)∫"(x)=1 2x-4x2f"(x)2(x=1 4x(x2+3)

6 例32 作函数 2 的图形. 2 ( ) 1 x f x x x = + − D = − − − + ( , 1) ( 1,1) (1, ) (0,1) (1, ) + 2 (3) 1 , , 1 . 4 当 时 所以 是一条铅垂渐近线 x y x b ac → →  = − 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 1 (4) ( ) 1 ( 1) ( 1) x x x f x x x + − −  = − = − − 解 (1)定义域 (2) x = ±1 为无穷间断点. 而ƒ(–x) = –ƒ(x),则ƒ(x)为奇函数, 其图形关于原点对称, 从而只讨论ƒ(x)在 的情形. 2 ( ) 2 lim lim(1 ) 1 x x 1 f x a → → x x = = + = − 2 2 lim[ ( ) ] lim( ) 0 x x 1 x b f x ax x x → → x = − = + − = − 而  =y x是曲线的一条斜渐近线 2 2 3 4 ( 3) ( ) ( 1) x x f x x +  = −

令(x)=0得x=V2+52(≈3) 令/"(x)=0,得x=0列表讨论如下: f(x) f(x)0 f(x)拐点间断极小值 由对称性知,点(0,0为拐点 5)由以上讨论,结合∫(x)的奇偶 性,就可画出函数的完整图形 作业:讨论函数y=xe的 单调性、极值、极值点、凹 性及拐点

7 令 得 f x x y ( ) 0, 2 5 2( 3) = = +   x 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 – – 0 + 0 – + + ƒ(x) 拐点 间断 极小值 (2, ) +  f x ( ) f x ( ) (5)由以上讨论, 结合ƒ(x)的奇偶 性, 就可画出函数的完整图形. o x y 1 2 –2 –1 1 2 3 4 由对称性知, 点(0, 0)为拐点. 令 得 列表讨论如下 f x x ( ) 0, 0. : = = 作业: 讨论函数 的 单调性、极值、极值点、凹 性及拐点. x y xe− =