《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿）矩阵及其运算

11矩阵及其运算 111矩阵定义 二元线性方程组 3x+2y=6, x+4 y=8 中,利用xy的四个系数以及方程右边的常数6,8 按它们在方程组中的原来次序,可以分别把它们排 成二行二列,二行一列,及二行三列的三张数表 32 326 148 (3)

二元线性方程组 3 2 6, 4 8. x y x y  + =   − + = (1) 中，利用x,y的四个系数以及方程右边的常数 6，8 ， 按它们在方程组中的原来次序，可以分别把它们排 成二行二列，二行一列，及二行三列的三张数表 1.1.矩阵及其运算 1.1.1 矩阵定义 6 8       3 2 1 4       − (2) 3 2 6 1 4 8       − (3) (4)

类似地,关于n个未知数x1,k2,…x的m个方程的线 性方程组 a1x1+a12x2+…+anxn=b a2Ix+a2,x,+.+anx,=b (5) ●鲁●●● aLx,+a_x1+∵+ax.=b mn n 中,利用mXn个系数以及方程右边的常数,可以分 别把它们排成m行n列,m行一列,及m行n+1列的 三张数表

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 中，利用m×n个系数以及方程右边的常数 ，可以分 别把它们排成m行n列，m行一列，及m行n+1列的 三张数表 类似地，关于n个未知数x1,x2,…xn的m个方程的线 性方程组 (5)

12 b 2n h2 (6) mI m2 h 11 2 2 (8) m2 象这样的数表(2),(3)、(4),(6),(7),(8),我们称之 为矩阵

11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a             (6) 1 2 m b b b             (7) 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b             (8) 象这样的数表(2),(3),(4),(6),(7),(8)，我们称之 为矩阵

定义1.1.1 由m×n个数a;(i=1,2,…m;j=1,2,…,n) 排成的m行n列(横排叫行,纵排叫列)的数表: (9) 叫做m行n列矩阵,简称m×n矩阵,这m×n个数叫做矩 阵A的元素,a叫做矩阵A的第i行第j列元素,下标 指明行序号,下标指明列序号

由m×n个数aij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       排成的m行n列(横排叫行,纵排叫列)的数表: 叫做m行n 列矩阵，简称m×n矩阵，这m×n个数叫做矩 阵A的元素， aij叫做矩阵A的第i行第j列元素，下标i 指明行序号，下标j指明列序号， (9) 定义1.1.1

(9)式简记为 A=(an)或A=(an) 矩阵通常用A,B,C等表示,m×n矩阵也记做Anxn 元素都是实数的矩阵叫实矩阵,元素都是复数的矩阵 叫复矩阵. 例如 1035 9643 是一个2×4实矩阵, 1362 222是一个3×3复矩阵, 222

元素都是实数的矩阵叫实矩阵,元素都是复数的矩阵 叫复矩阵. 矩阵通常用A,B,C等表示，m×n矩阵也记做Am×n. (9)式简记为 ( ) ( ), A a A a = = ij m n ij  或 例如       − 9 6 4 3 1 0 3 5 是一个 24 实矩阵,           2 2 2 2 2 2 13 6 2i 是一个 33 复矩阵

同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵 12)(143 例如56与84为同型矩阵 37)(39 2.两个矩阵A=(an)与B=(bn)为同型矩阵, 并且对应元素相等,即 b,(=1,2, 则称矩阵A与B相等,记作A=B

例如                     3 9 8 4 14 3 3 7 5 6 1 2 与 为同型矩阵. 同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵. 2. ( ) ( ) ( 1,2, , ; 1,2, , ), . ij ij ij ij A a B b a b i m j n A B A B = = = = = = 两个矩阵 与 为同型矩阵， 并且对应元素相等，即 则称矩阵 与 相等，记作

例1设 23 x 3 B 已知A=B,求x,y, 解 A=B x=2,y=3,z=2

例1 设 , 1 1 3 , 3 1 2 1 2 3        =      = y z x A B 已知 A = B,求 x, y, z. 解  A = B,  x = 2, y = 3, z = 2

几种特殊矩阵 1只有一行的矩阵 称为行矩阵 只有一列的矩阵 B 称为列矩阵

几种特殊矩阵 1 只有一行的矩阵 ( 1 2 ), A a a a = m 称为行矩阵. 只有一列的矩阵 , 2 1               = an a a B  称为列矩阵

2元素全为零的矩阵称为零矩阵,m×n零 矩阵记作Oxn或O 注意不同阶数的零矩阵是不相等的 例如(0000 0000 ≠(000 0000 0 000

注意 (0 0 0 0). 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如 2 元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n零 矩阵记作O m×n或O

3方阵的定义及几类特殊方阵 (1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶 方阵.也可记作An 1362 例如222是一个3阶方阵 222

(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶 . 方阵.也可记作 An 例如 13 6 2 2 2 2 2 2 2           是一个3 阶方阵. 3 方阵的定义及几类特殊方阵