南京大学：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第5章 数值积分 5.4 Gauss求积公式 5.5 数值微分

54 Gauss求积公式 对于机械求积公式 (x)k=∑4/(x)+/(541) k=0 略去余式R/],由定理52知,它如果是插值型求 积公式,则至少有n次代数精度

5.4 Gauss求积公式 对于机械求积公式 （5.4.1） 略去余式 R f [ ]，由定理 5.1.2 知，它如果是插值型求 积公式，则至少有 n 次代数精度。 ( ) ( ) [ ] 0 f x dx A f x R f k b a n k = k +  =

从式(541)可以看出,待定参数 4,x(k=0,1…n)共2n+2个,如果令 ∫(x)=,x2…x2使求积公式(41)精确成 立,即R[/0,从理论上看,建立了求 Ax2(k=0,1,…m)的2m+2个代数方程组

从 式 (5.4.1) 可 以 看 出 ， 待 定 参 数 , 0,1, ( ) A x k n k k = 共 2 2 n+ 个，如果令 ( ) 2 2 1 1, , , , n f x x x x + = 使求积公式(5.4.1)精确成 立，即 R f [ ]= 0 ，从理论上看，建立了求 ( ) , 0,1, A x k n k k = 的 2 2 n+ 个代数方程组

+1(b11-a“)(=0,1,2,n)(542) 如果从式(542)解得A,x(k=0,1…n),则求积 公式(541)将有2n+1次代数精度 下面我们就一个例子来看:

(5.4.2) 如果从式(5.4.2)解得 , 0,1, ( ) A x k n k k = ，则求积 公式(5.4.1)将有2 1 n+ 次代数精度。 下面我们就一个例子来看： ( ) ( 0,1,2,... ) 1 1 1 1 0 b a j n j A x j j n k j k k − = + = + + = 

例541试决定参数A,A2x02x,使求积公式 f(x)dx= Aof(xo)+Af(1) 具有3次代数精度。 解令f(x)=1x,x2,x3,代入求积公式得 A+41=2 Axo+AX=0 (2) Aox+ Ax (3) (4)

例 5.4.1 试决定参数 0 1 0 1 A A x x , , , ，使求积公式 具有 3 次代数精度。 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 f x dx = A f x + A f x − 解 令 ( ) 2 3 f x x x x = 1, , , ，代入求积公式得        + = + = + = + = 0 (4) (3) 3 2 0 (2) 2 (1) 3 1 3 0 2 1 2 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 A x A x A x A x A x A x A A

由式(1)及式(2)可解得 2. 由式(3)及式(4)可解得 2x Ao=3x(x1-xo 2

由式(1)及式(2)可解得 由式(3)及式(4)可解得 (5) 2 2 1 0 0 1 1 0 1 0        − − = − = x x x A x x x A (6) 3 ( ) 2 3 ( ) 2 1 0 2 0 1 1 0 2 1 0 1 0        − − = − = x x x x A x x x x A

再由式(5)和(6)可得 于是有求积公式 f(dx=f(-+f() 为具有3次代数精度的求积公式

再由式(5)和(6)可得 0 1 0 1 1 1 , , 1, 1 3 3 x x A A = = - = = 于是有求积公式 为具有 3 次代数精度的求积公式。 ) 3 1 ) ( 3 1 ( ) ( 1 1 f x dx = f − + f −

定义5.41如果插值型求积公式 p(x)(x)d=∑4(x)(543 k=0 对任何2n+1次代数多项式都能精确成立,即有2n+1 次代数精度,则称式(54.3)为 Gauss型求积公式,而 x(k=01…n)称为Gas点,其中(x)≥0为 权函数

定义 5.4.1 如果插值型求积公式 (5.4.3) 对任何2 1 n+ 次代数多项式都能精确成立，即有2 1 n+ 次代数精度，则称式(5.4.3)为 Gauss 型求积公式，而 ( 0,1, , ) k x k n = 称为 Gauss 点，其中 为 权函数。 ( ) ( ) ( ) 0 k n k k b a x f x dx A f x  =  = (x)  0

541正交多项式 定义542设n次多项式 P(x)=anx”+an1}+…+ax+a0(m=0,2…) 其中,an≠0,如果对于区间[ab]上非负权函数p(x),多项式Pn(x)与P(x 满足 0m≠n (Pm(x), P()A p(x)Pm(x)P,(x)ax C>0 m=n 则称多项式系P(x),P(x,P(x)…在区间[ab]上关于权函 数p(x)正交,P(x)称为正交多项式

5.4.1 正交多项式 定义 5.4.2 设 n 次多项式 ( ) ( ) 1 1 1 0 0,1,2, n n P x a x a x a x a n n n n - = + + + + = - 其中，  0 n a ，如果对于区间[a b, ]上非负权函数 (x)，多项式 ( ) P x m 与 ( ) P x n 满足      =   C m n m n P x P x x P x P x dx n b a m n m n 0 0 ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) 则称多项式系 ( ) ( ) ( ) 0 1 2 P x P x P x , , , 在区间[a b, ]上关于权函 数 (x)正交， ( ) P x n 称为正交多项式

令P( P(x),则 m≠n (P(x),P(x) m=n 此时,称P(x)为区间{ab]上关于权函数p(x)的n次规范化正交多项式 令P(x)=P(x),则P(x)为首项系数为1的n次正交多项式

令 ( ) ( ) * 1 n n n P x P x c = ，则    =  = m n m n P x P x m n 1 0 ( ( ), ( )) * * 此时，称 ( ) * P x m 为区间[a,b]上关于权函数 (x)的 n 次规范化正交多项式。 令 ( ) ~ ( ), 1 ( ) ~ P x P x a P x n n n n = 则 为首项系数为 1 的 n 次正交多项式

正交多项式性质 性质1设g(x)为任一不超过n次的多项式,则 (Pm1(x)(x)=0,特别(P1(x),x)=0(k=01,2…,n) 性质2正交多项式系{P(x(m=02…)满足三项递推关系 P+1(x)=-(x-bk)P(x) k+1k-1 rP,(x (k=1,2,3…)

正交多项式性质 性 质 1 设 ( ) Q x n 为 任 一 不 超 过 n 次 的 多 项 式 ， 则 (P x Q x n n +1 ( ), 0 ( ))= ，特别( ( ) ) ( ) 1 , 0 0,1,2 , k P x x k n n+ = = 性质 2 正交多项式系{ ( )}( 0,1,2, ) P x n n = 满足三项递推关系 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1,2,3 k k k k k k k k k k a a a P x x P x r P x a a k b + + - + - = - - =