南京大学：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第3章 解线性方程组的数值解法 3.4 向量和矩阵的范数 3.5 病态方程组与矩阵的条件数 3.6 解线性方程组的迭代法

3.4向量和矩阵的范数 为了研究线性方程组近似解的误差估计 和迭代法的收敛性,我们需要对R(n维 向量空间)中的向量或R∞中矩阵的“大 小”引入一种度量,—一向量和矩阵的范 数

3.4 向量和矩阵的范数 ◼ 为了研究线性方程组近似解的误差估计 和迭代法的收敛性，我们需要对Rn (n维 向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大 小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数

向量和矩阵的范数 在一维数轴上,实轴上任意一点x到 原点的距离用刈表示。而任意两点X 之间距离用X%表示

向量和矩阵的范数 ◼ 在一维数轴上，实轴上任意一点x到 原点的距离用|x|表示。而任意两点x1， x2之间距离用| x1 -x2 |表示

向量和矩阵的范数 n而在二维平面上,平面上任意一点(x)到 原点的距离用x2+y2=OP表示。而平面上 任意两点R(X,片,P2(场)的距离用 P2E(x-x2+(-2 表示。推广到m维空间,则称为向量范数

向量和矩阵的范数 ◼ 而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到 原点的距离用 表示。而平面上 任意两点P1 (x1 ,y1 ),P2 (x2 ,y2 )的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。 | | 2 2 x + y = OP 2 1 2 2 1 2 1 2 | P P |= (x − x ) + (y − y )

向量范数 定义34.1设任一向量x∈R",按某一确定的 法则对应于一非负实数‖x|,且满足 1)非负性:‖x|0,当且仅当x=0时,‖x|=0 2)奇次性:‖C‖=k‖!X,k∈R 3)三角不等式:对任意x2y∈R",都有 X+y2‖‖x‖+‖12, 则称‖x为向量x的范数

向量范数 则称 为向量 的范数。 ， 三角不等式：对任意 都有 奇次性： 非负性： ，当且仅当 时， 法则对应于一非负实数 且满足 设任一向量 按某一确定的 x x R k k k R R x y x y x y x x x x x x x n n || || || || || || || || 3) , , 2) || || | ||| ||, ; 1) || || 0 0 || || 0; || ||, : 定义3.4.1 , +  +  =   = = 

常见的向量范数 设向量x=(x12x2,xn) x‖=∑x ‖x|2=(∑|x12)2=(x,x)2=(Xx)2 x lo=maxx 1≤i<n

常见的向量范数 || || max{| |} || || ( | | ) ( , ) ( ) || || | | ( , ,..., ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 i i n T n i i n i i T n x x x x x x x x x x x x x x    = = = = = = = =   设向量

向量范数性质 性质1对任意x,y∈F"有x1-pysx-y 性质2设x∈R",则向量范数‖x‖是分量 x1,x2y,x,的一致连续函数。 性质3对R中定义的任意两种范数|l,·2 则必存在两正数m,M,使得 mC|sxl≤M‖xvx∈R

向量范数性质 n n n n n m M R m M x x x R R x x x x x x x y x y x y         −  −      || || || || || || , , 3 R || || ,|| || , , ,..., 2 , || || 1 1 2 则必存在两正数 使得 性质 对 中定义的任意两种范数 的一致连续函数。 性质 设 则向量范数 是分量 性质 对任意 ， 有

向量范数性质 等价性质: l)-‖xCl1s‖xC|2⊥xC 2)‖xC|24‖xl1≤n‖xC 3)‖x1nsx|2s√n‖XC| 例如:x=∑x圳x=max{x}≤∑x

向量范数性质 等价性质：  =    =      =  =        n i i i i n n i i x x x n n n n n x x x x x x x x x x x 1 1 1 1 2 1 1 1 | | || || max{| |} | | 1 || || 1 : 3) || || || || || || 2) || || || || || || || || || || || || 1 1) 例如

向量的收敛性 定义342设R中一向量序列{}(k=12,…),其中 x6)={x),x2,,x},如果存在x=(x2x2…,x)∈R"满足 mx=x(i=1,2,,n) k→o 则称向量序列{x6)依次收敛到C,记作 X=x 如果有imxC-xC"|=0 则称向量序列{x6)}依范数‖收敛到x

向量的收敛性 ( ) * * * ( ) * * * * 2 * 1 ( ) ( ) * 2 ( ) 1 ( ) ( ) { } || || lim || || 0 lim { } , lim ( 1,2,..., ) { , ,..., } , ( , ,..., ) 3.4.2 { } ( 1,2,...), x x x x x x x x x x x k k k k k k i k i k T n n k T n k k k n k x x i n x x x x x x R R k 则称向量序列 依范数 收敛到 如果有 则称向量序列 依次收敛到 记作 如果存在 满足 定义 设 中一向量序列 其中  − = = = = = =  = → → →

定理341向量序列{x6)}(k=1,2,)依 坐标收敛到x的充分必要条件是{x}依范 数‖·‖收敛到x。 事实上由 im‖xb)-x‖=0o1<in 1、(k) k→

lim ( 1,2,... ) lim || || 0 lim max 0 || || { } 3.4.1 { } ( 1,2,...) ( ) * ( ) 1 * * * ( ) ( ) x x i n x x k i k i k i k i k i n k k k k x x x x x x  = = − =  − =  = → →    → （ ） 事实上由 数 收敛到 。 坐标收敛到 的充分必要条件是 依范 定理 向量序列 依

3.42矩阵范数 定义343设任意A∈R",若按某一确定的法则对 应于一非负实数‖A|,且满足 1)非负性‖A|0,当且仅当A=O时,A|=0 2)奇次性:kA‖k‖A‖,k∈R, 3)三角不等式:A+B|sA‖+‖B|,VA,B∈R" 4)相容性:AB≤4|Bl,VA,B∈R", 则称‖A‖.R"的一种范数

3.4.2 矩阵范数 则称 为 的一种范数。 相容性： ， ， 三角不等式： 奇次性： ， 非负性 ，当且仅当 时， 应于一非负实数 且满足 定义 设任意 若按某一确定的法则对 n n n n n n n n A R AB A B A B R A B A B A B R k A k A k R A A A A A R        +  +   =   = =  || || 4) , 3) || || || || || ||, , ; 2) || || | ||| || ; 1) :|| || 0 0 || || 0; || ||, : 3.4.3