《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿）行列式

§112行列式 行列式的定义 1.二阶行列式与三阶行列式 2.n阶行列式 行列式的性质 三.行列式按行(列)展开定理及其推论 四.方阵乘积的行列式 五,克莱姆法则

§11.2行列式 一. 行列式的定义 1. 二阶行列式与三阶行列式 2. n阶行列式 二. 行列式的性质 三. 行列式按行（列）展开定理及其推论 四. 方阵乘积的行列式 五. 克莱姆法则

、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组 X +aux. 111 ,tax=b 211 2 2 1221+a 12“222 229 (2)Xa12:a12a1x1+a22x2=b2a2, 两式相减消去x2,得

用消元法解二元线性方程组    + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b (1) (2) (1) : a22 , a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 (2) : a12 , a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12 两式相减消去 x2，得 一、二阶行列式的引入

(a1a2-a12a21)x1=b1a2-a12b2; 类似地,消去x,得 22 12 2 1219 当a1a2-a2a21≠0时,方程组的解为 22 12 ab-b, 21 (3) 1122 1221 11422 122 由方程组的四个系数确定,且为一个数

; （a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 类似地，消去x1，得 , （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 当 a11a22 − a12a21  0时， 方程组的解为 ， 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = . （3） 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 由方程组的四个系数确定,且为一个数

定义由四个数排成二行二列(横排称行、竖排 称列)的数表 1a12 122 表达式a142-a1221称为数表④所确定的二阶 行列式,并记作 12 (5) 22 D 12 1122 1221 21

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表 (4) 21 22 11 12 a a a a 定义 (5) 4 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 a a a a a a a a 行列式，并记作 表达式 − 称为数表（ ）所确定的二阶 即 . 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = −

二阶行列式的计算—对角线法则 主对角线 次对角线nz2 对于二元线性方程组 111 122 211 a 222 若记 D 11 12 系数行列式

11 a 12 a a12 a22 主对角线 次对角线 对角线法则 11 22 = a a 二阶行列式的计算 若记 , 21 22 11 12 a a a a D =    + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 对于二元线性方程组 系数行列式 12 21 −a a

二、三阶行列式 定义设有9个数排成3行列的数表 11 12 22 (5) 记 31 32 12 13 12213112 12423u31 302132 2 23 11423032 12u21033 3u22u31. 31 32 33 (6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式

二、三阶行列式 定义 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 (5) 9 3 3 a a a a a a a a a 设 有 个数排成 行 列的数表 记 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1, 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 (6) a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式

12 13 D= 22 23.列标 33 行标 阶行列式的计算 13 lI 12 (1)沙路法D=2423A2a2 31 31 D=a123+a12a2331+a13213 112332 12·2133 1322u31

31 32 21 22 11 12 a a a a a a − − − + + + . − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 (1)沙路法 三阶行列式的计算 D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = .列标 行标 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D =

(2)对角线法则 1122l33+a1a 2u23431 a12 1321032 1322031 221033 1102332 注意红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三 元素的乘积冠以负号 说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式

31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = a11a22a33 . 11 23 32 − a a a (2)对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． + a12a23a31 + a13a21a32 13 22 31 − a a a 12 21 33 − a a a

2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负

2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负

例2计算三阶行列式D=-22 34-2 解按对角线法则,有 D=1×2×(-2)+2×1×(-3)+(-4)×(-2)×4 1×1×4-2×(-2)×(-2)-(-4)×2×(-3) =-4-6+32-4-8-24 14

- 3 4 - 2 - 2 2 1 1 2 - 4 例２ 计算三阶行列式 D = 解 按对角线法则，有 D = 1 2(−2) + 21(−3) + (−4)(−2) 4 − 11 4 − 2(−2)(−2) − (−4) 2(−3) = −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24 = −14