烟台理工学院：《自动控制原理 Automatic Control Theory》课程教学资源（课件讲稿）第四章 线性系统的根轨迹法

自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹法 4-1根轨迹法的基本橇念 4-2套制根轨迹的基牵信则 4-3广义根轨迹法 D

自动控制原理 4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 广义根轨迹法 第四章 线性系统的根轨迹法

自动控制原理 4-1根轨迹法的基本概念 1.根轨迹的概念 根轨迹是开环系统的某一参数从零变化到无穷时， 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。 R(s) K C(s) 例：随K的变换 s(0.5s+1) 绘制闭环根轨迹。 特征方程： .D(s)=s2+2s+2K=0

自动控制原理 4-1 根轨迹法的基本概念 1.根轨迹的概念 根轨迹是开环系统的某一参数从零变化到无穷时， 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。 (0.5 1) K s s + R(s) C(s) - 例：随K的变换 绘制闭环根轨迹。 ( ) 2  = + + = D s s s K 2 2 0 特征方程：

自动控制原理 K G(S)= s(0.5s+1) 特征根： S1=-1+V1-2K S2=-1-W1-2K 令K（由0到o)变动，S、S,在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。 8 2系统性能分析： &=2.5 2 1)稳定性 =1S1 =0.5 K=0 K=0 2)动态性能 -3 3)稳态误差 K=1 -1 临界开环增益 K=2.5 根轨迹增益 8

自动控制原理 1 s = − + − 1 1 2K 令K（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。 特征根： 2.系统性能分析： 1）稳定性 2）动态性能 3）稳态误差 临界开环增益 根轨迹增益 2 s = − − − 1 1 2K 1 s 2 s ( ) (0.5 1) k K G s s s = +

自动控制原理 3.闭环零极点与开环零极点间的关系 R(s) C(s) G(s) H(s 设 s-） Πs-2) G(s)=K。 i=1 H(s)=Ki j=1 q s-P) Πs-P) -1 i=

自动控制原理 3.闭环零极点与开环零极点间的关系 R(s) C(s) G(s) H(s) 设 * 1 1 ( ) ( ) ( ) f gi i G q gi i s z G s K s p = = − = −   * 1 1 ( ) ( ) ( ) l hj j H x hj j s z H s K s p = = − = −  

自动控制原理 则开环传递函数为 1s-n)1s-g) G(S)=K。KH 立s-PeTs-P) i1 则闭环传递函数为 KoII(s-zTI(s-P) Φ(S)= 广s-PΠs-P)+KKns-zs-z)

自动控制原理 则闭环传递函数为 * 1 1 * * 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x G gi hj i j q f x l gi hj G H gi hj i j i j K s z s p s s p s p K K s z s z = = = = = = − −  = − − + − −       则开环传递函数为 * * 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f l gi hj j i k G H q x gi hj i j s z s z G s K K s p s p = = = = − − = − −    

自动控制原理 ·小结 >闭环根轨迹增益等于前向通道根轨迹增益。 >闭环零点由前向通道传函的零点和反馈通道传 函的极点构成。 >单位反馈时，闭环根轨迹增益就等于开环根轨 迹增益，闭环零点就是开环零点。 >闭环极点与开环零极点和根轨迹增益均有关系。 根轨迹法的基本任务：如何由开环零极点和根 轨迹增益通过图解的方法找出闭环极点

自动控制原理 • 小结 ➢ 闭环根轨迹增益等于前向通道根轨迹增益。 ➢ 闭环零点由前向通道传函的零点和反馈通道传 函的极点构成。 ➢ 单位反馈时，闭环根轨迹增益就等于开环根轨 迹增益,闭环零点就是开环零点。 ➢ 闭环极点与开环零极点和根轨迹增益均有关系。 • 根轨迹法的基本任务：如何由开环零极点和根 轨迹增益通过图解的方法找出闭环极点

自动控制原理 4.根轨迹方程 系统特征方程 1+G(s)H(s)=0→ G(S)H(S)=-1 它是复变量方程，亦为向量方程。 模值条件： G(s)H(s)=1 相角条件： ∠G(S)H(S)=(2k+1)m k=0,±1，±2，…

自动控制原理 4.根轨迹方程 1 0 + = G s H s ( ) ( ) 相角条件： 模值条件： 系统特征方程 G s H s ( ) ( ) 1 = − G s H s ( ) ( ) 1 =  = + G s H s k ( ) ( ) (2 1) 它是复变量方程, 亦为向量方程。 k =   0, 1, 2

自动控制原理 Πs-z) 令G(s)H(s)=K 1 Πs-p) i=1 模值条件可写为 IIls-e, K Πls-z 9-1 相角条件可写为 ∑∠s-)-∑∠-P,)=(2k+1n k=0,±1，±2，…

自动控制原理 * 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m i i n j j s z G s H s K s p = = − = −   令 * 1 1 n j j m i i s p K s z = = − = −   相角条件可写为 1 1 ( ) ( ) ( 2 1) m n i j i j s z s p k  = =    − − − =  + 模值条件可写为 k =   0, 1, 2

自动控制原理 4-2常规根轨迹的绘制法则 1.基本绘制法则 法则1根轨迹的起点和终点。 起始于开环极点，终止于开环零点。 Πs-z) 令G(s)H(s)=K Πs-p) i=1

自动控制原理 4-2 常规根轨迹的绘制法则 法则1 根轨迹的起点和终点。 起始于开环极点 ，终止于开环零点。 1.基本绘制法则 * 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m i i n j j s z G s H s K s p = = − = −   令

自动控制原理 特征方程：广s-p,)+KΠs-z)=0 i=1 i=1 起点：K=0→S=p 终点：K→0→S→j,S→0 一般，m≤n,有n-m条根轨迹终止于无穷远处。 同理，当m>n时，有m-n条根轨迹起始于无穷远处

自动控制原理 * ( ) ( ) 1 1 =0 n m i j i j s p K s z = = 特征方程：   − + − 起点： * 0 K s p =  = i 终点： * , K s z s →   → →  j 一般，m≤n，有n-m条根轨迹终止于无穷远处。 同理，当m>n时，有m-n条根轨迹起始于无穷远处