烟台理工学院：《自动控制原理 Automatic Control Theory》课程教学资源（课件讲稿）第二章 控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型 2-2控制素绕的时域数学摸型 E 2-3控制系统的复数域数学摸型 2-4控制系镜的结构图 E 2-5控制素绕的信号流图

2-2 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4 控制系统的结构图 第二章 控制系统的数学模型 2-5 控制系统的信号流图

•数学模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关 系的数学表达式 静态数学模型：在静态条件下/平衡条件下（即 变量各阶导数为0)，描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量及其各阶导数之间关系 的数学模型。 •建模方法 分析法 根据系统工作所依据的物理/化学定律列写运动 方程

•数学模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关 系的数学表达式 静态数学模型：在静态条件下/平衡条件下（即 变量各阶导数为0），描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量及其各阶导数之间关系 的数学模型。 •建模方法 分析法 根据系统工作所依据的物理/化学定律列写运动 方程

实验法 (系统辨识法) 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并 用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性 ·常见的数学模型 ◆时域数学模型：微（差)分方程、状态方程； ◆复数域数学模型：传递函数、结构图、信号流图； ◆频域数学模型：频率特性。 其中结构图、信号流图是图形化的数学模型

◆时域数学模型：微（差）分方程、状态方程； ◆复数域数学模型：传递函数、结构图、信号流图； ◆频域数学模型：频率特性。 其中结构图、信号流图是图形化的数学模型。 •常见的数学模型 实验法（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并 用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性

2-2控制系统的时域数学模型 一、线性元件的微分方程 列写步骤：(P24上方) (1) 确定元件的输入、输出量及所需的中间变量。 (2) 根据元件满足的物理、化学定律列出相应的微分方程。 (3) 消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。 (4) 标准化一将与输入有关的各项放在等号的右边，与输 出有关的各项放在等号的左边；且等号两边各阶导数按 降阶排列

2-2 控制系统的时域数学模型 一、线性元件的微分方程 列写步骤：（P24上方） （1） 确定元件的输入、输出量及所需的中间变量。 （2） 根据元件满足的物理、化学定律列出相应的微分方程。 （3） 消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。 （4） 标准化——将与输入有关的各项放在等号的右边，与输 出有关的各项放在等号的左边；且等号两边各阶导数按 降阶排列

2-2控制系统的时域数学模型 例2-7：写出RLC串联电路的微分方程。 L [解]：据基尔霍夫电路定理： Mi di L +Ri+W。=u: dt Wi- 输入 Wo- 输出 u。=c∫idt ② du. 由②：i=C 代入①得： dt d。+,二

=  u idt o C 1 ② o i di L Ri u u dt + + = ① [解]：据基尔霍夫电路定理： ui 输入 uo 输出 ui uo L R C i 例2-7：写出RLC串联电路的微分方程。 dt du i C o 由②： = ， o i o o u u dt du RC dt d u LC + + = 2 2 代入①得： 2-2 控制系统的时域数学模型

例2-9：图为弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统，列写质量 在输入量为外力F(),输出量为位移x(t)时的运动方程。 解：根据牛顿第二定律有： d2x F(t-F(t)-F2(t)=m dt2 x(t) E(t)→弹簧恢复力 F()→阻尼器阻力 图2-3机械位移系统

例2-9： 图为弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统，列写质量m 在输入量为外力F(t)，输出量为位移x(t)时的运动方程。 解：根据牛顿第二定律有：    → → − − = (t) 阻尼器阻力 弹簧恢复力 2 1 2 2 1 2 F F t dt d x F t F t F t m ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1

F,(t)=kx F(t)=f dx md'x fdx k dt2k dt 十x=Fd)…二阶微分方程 k 比校以上例题的数学模型，可以发现： 二者的数学模型均可用二阶微分方程表示 (相 似系统)， 仅方程中系数的大小和其具体的物理含义 不同而已0 启示：1利用电路网络可以模拟仿真非电系统； 2.利用数学模型可以敝开系统的物理属性进行 普遍意义的分析研究

F (t) = kx 2 1 dt dx F (t) = f 1 2 ( ) -------二阶微分方程 1 2 2 F t k x dt dx k f dt d x k m  + + = 比较以上例题的数学模型，可以发现： 二者的数学模型均可用二阶微分方程表示（相 似系统），仅方程中系数的大小和其具体的物理含义 不同而已。 启示：1.利用电路网络可以模拟仿真非电系统； 2.利用数学模型可以撇开系统的物理属性进行 普遍意义的分析研究

3.线性系统的基本特性 ■叠加性和齐次性 ■线性系统的性质： 当几个外作用同时加于系统时，可将它们 分别单独处理得出各自的响应，之后将各 响应叠加即为系统总响应。 一个复杂的外作用可分解成若干个简单信 号，求出各简单信号的响应，之后叠加即 得复杂外作用下的响应

3.线性系统的基本特性 ◼ 叠加性和齐次性 ◼ 线性系统的性质： ◼ 当几个外作用同时加于系统时，可将它们 分别单独处理得出各自的响应，之后将各 响应叠加即为系统总响应。 ◼ 一个复杂的外作用可分解成若干个简单信 号，求出各简单信号的响应，之后叠加即 得复杂外作用下的响应

4、线性定常微分方程的求解 例题2-12：在例题2-7中，若已知 L=1H,R=12,C=1F,且电容初始 L 电压u(0)=0.1y,初始电流i(0)=0.1A, Mi 电源电压u()=1V试求电路突然接 1i- 输入 通电源时，电容电压u(①)的变化规 1o一输出 律。 解：由例题2-7知其数学模型为 LCa+RC恤+=4 dr dt 在非零初始条件下，方程两边进行拉氏变换，得：

例题2-12：在例题2-7中，若已知 L=1H，R=1Ω，C=1F，且电容初始 电压uo (0)=0.1v,初始电流i (0)=0.1A， 电源电压ui (t)=1V.试求电路突然接 通电源时，电容电压uo (t)的变化规 律。 解： 在非零初始条件下，方程两边进行拉氏变换，得： 4、线性定常微分方程的求解 ui 输入 uo 输出 ui uo L R C i o i o o u u dt du RC dt d u LC + + = 2 2 由例题2-7知其数学模型为

4、线性定常微分方程的求解 解： 0+c路u LCIs'U,(s)-su,(0)-u,(0]+RC[sU(s)-u(0]+U(s)=U;(s) (LCs2+RCs+1)U,(s)=U;(s)+(LCs+RC)u,(0)+LCu,(0) U,(s)=- U:(S) (LCs+RC)u,(0)+LCu,(0) Cs2+RCs+1 LCs+RCs+1 零状态响应 零输入响应

解： 4、线性定常微分方程的求解 2 ' [ ( ) (0) (0)] [ ( ) (0)] ( ) ( ) LC s U s su u RC sU s u U s U s o o o o o o i − − + − + = o i o o u u dt du RC dt d u LC + + = 2 2 2 ' ( 1) ( ) ( ) ( ) (0) (0) LCs RCs U s U s LCs RC u LCu o i o o + + = + + + ' 2 2 ( ) ( ) (0) (0) ( ) 1 1 i o o o U s LCs RC u LCu U s LCs RCs LCs RCs + + = + + + + + 零状态响应 零输入响应