高等教育出版社：《材料力学》配套教材电子教案（PPT课件）第七章 应力状态和强度理论（7.2）平面应力状态的应力分析 主应力

§2平面应力状态的应力分析主应力 公式推导 ∑F=0∑F=0 I+cos 20 cos cos 2a 2 b 0+ o, dA-o (dA c6safcesd+f, sin &+co ain a coSH 6, (dAsin a)sin a =0 2 a dA-o (dAcos a )sin a-1, (dAcos a)cosa+r, (dAsin a)sin a+o, (dAsin a cosa=0 2 Sn 2a +T, cos 2a v

§2 平面应力状态的应力分析 主应力 一、公式推导： a  x   y c x  b  a  y  c     n   x y  y  x   = 0 F = 0 Fn   dA− x (dAcos)cos + x (dAcos)sin + y (dAsin )cos − y (dAsin )sin  = 0   dA− x (dAcos)sin  − x (dAcos)cos + y (dAsin )sin  + y (dAsin )cos = 0 2 1 cos 2 cos2   + = 2 1 cos 2 sin 2   − = x y  =   =  x + y 2    cos 2 2 x − y + − x sin 2   =    sin 2 2 x − y + x cos 2

二、符号规定: 正应力 角 ⊙ 由X正向逆时针转到刀正向 者为正;反之为负。 拉应力为正 压应力为负 切应力 使单元体或其局部顺时 针方向转动为正;反之为 负

二、符号规定： α角 由x正向逆时针转到n正向 者为正；反之为负。 n  x 正 应 力  y  x 拉应力为正  x 压应力为负 切 应 力   y  x  使单元体或其局部顺时 针方向转动为正；反之为 负

禁单元体应力如图所示,其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知,互相垂直的二斜面ab和bC的外法线分别与 轴成30°和-600角,试求此二斜面ab和bC上的应力。 30MPa 2 2 cOS 2a x sin 2d 10+30,10-30 0+30 3 20MPa4 10MPa 2 b -sin 2a +t cos 2a 2 m个10-5302842)3APa 309 O309+060=0x+0y=40MPa 在二向应力状态下,任意两个垂直面上,其σ的和为一常数

某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x 轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。 20MPa 10MPa 3 30MPa a b c n1   =  x + y 2    cos 2 2 x − y + − x sin 2 2 10 30 0 30 +  = 0 cos60 2 10 −30 + 0 − 20sin 60 = −2.32MPa   =    sin 2 2 x − y + x cos 2 0 30 sin 60 2 10 30 0 −  = 0 + 20cos60 =1.33MPa n2 2 10 30 0 60 + = −  ( ) 0 cos 120 2 10 30 − − + ( ) 0 − 20sin −120 = 42.32MPa ( ) 0 60 sin 120 2 10 30 0 − − = −  ( ) 0 + 20cos −120 = −1.33MPa + = − 0 0 30 60    x + y = 40MPa 在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数

分析轴句拉伸杄件的最大切应力的作用面,说明低碳钢 拉伸射发生屈服的主要原因。 低碳钢拉仲肘,其上任意一点都是单向应力状态 .+ os 20 sin 2a 2 os 2a 2 Sin 2a +t coS 2a sin la x=45° 低碳钢试样拉伸至屈服肘表面沿45°出现 滑移线,是由最大切应力引起的。 2

分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢 拉伸时发生屈服的主要原因。 低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。  x   =  x + y 2    cos 2 2 x − y + − x sin 2      cos 2 2 2 x y = +   =    sin 2 2 x − y + x cos 2     sin 2 2 x = 0  = 45 2 0 45  x  = 2 0 45  x  = max = 低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现 滑移线，是由最大切应力引起的

分析圆轴扭转肘最大切应力的作用面,说明铸铁圆试样 扭转破坏的主要原因。 g.+ mIn- 2 CoS 20-T sm 2a =-tsin 2a sin 2a +r cos 2a 2 max- 三tcos2 a=±45 4s=0m=-7 Hs ON 」铸铁圆试样扭转试验时,正是沿着最大拉 应力作用面(即45°螺旋面)断开的。因此, 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 0 的 5

分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样 扭转破坏的主要原因。    =  x + y 2    cos 2 2 x − y + − x sin 2   = − sin 2   =    sin 2 2 x − y + x cos 2   = cos 2 0  = 45  = = − − 450 max  = = + −450 max 0 0 45 =    min  max 铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的

应力圆 一、应力圆的方程式 oxtoror-ovni 20 2 2 xn=°sim2a+,cos2a 2 R o 二2 (x-a)2+y2=R

应力圆 一、应力圆的方程式 2 2 2 (x − a) + y = R   =  x + y 2    cos 2 2 x − y + − x sin 2   =    sin 2 2 x − y + x cos 2 2 2 2 2 2 2 x x y x y          +         − + =         + −

二,应力圆的画法 y d 2 在T一0坐标糸中,标定与微元垂直 的A、D面上应力对应的点a和d 连ad交0a轴于C点,C即为圆心,Cd为应 力圆半径

二.应力圆的画法 在τα－σα坐标系中，标定与微元垂直 的A、D面上 应力对应的点a和d 连ad交 σα轴于c点，c即为圆心，cd为应 力圆半径。 a (x , x ) d (y , y ) c  x + y 2  y y  x  A D  x     o

3、几种对应关条 O1,,v 点面对应—应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某 一方向面上的正应力和切应力; 转向对应—半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致; 三倍角对应——一半径转过的角度是斜截面旋转角度的两 倍

３、几种对应关系 点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某 一方向面上的正应力和切应力； 转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度的两 倍。  y y  x  A D  x a (x , x ) d (y , y ) c     o

点面对应

点 面 对 应  y y  x   x     c a A

转向对应、二倍角对应

    c 转向对应、二倍角对应  a n   b