北京大学：《光学》精品课程教学资源（教案讲义）第六章 傅里叶变换光学与相因子分析方法

第6章傅里叶变换光学 与相因子分析方法 6.1衍射系统波前变换6.2相位衍射元件一一透镜和棱镜 6.3波前相因子分析法 6.4余弦光栅的衍射场 6.5夫琅禾费衍射实现屏函数的傅里叶变换 6.6超精细结构的衍射一一隐失波 6.7阿贝成像原理与空间滤波实验 6.8光学信息处理列举 6.9泽尼克的相衬法 6.10相位物可视化的其他光学方法 6.11夫琅禾费衍射的普遍定义与多种装置 6.12傅里叶变换和δ函数6.13准确获得物频谱的三种系统 习题21道 6.1衍射系统波前变换 ·引言·衍射系统及其三个波前 ·衍射屏函数及其三种类型·例题——两个衍射屏相叠 ·什么是衍射 ●引言 经典波动光学 现代变换光学 光学信息处理

6.1 第 6 章 傅里叶变换光学 与相因子分析方法 6.1 衍射系统 波前变换 6.2 相位衍射元件——透镜和棱镜 6.3 波前相因子分析法 6.4 余弦光栅的衍射场 6.5 夫琅禾费衍射实现屏函数的傅里叶变换 6.6 超精细结构的衍射——隐失波 6.7 阿贝成像原理与空间滤波实验 6.8 光学信息处理列举 6.9 泽尼克的相衬法 6.10 相位物可视化的其他光学方法 6.11 夫琅禾费衍射的普遍定义与多种装置 6.12 傅里叶变换和δ 函数 6.13 准确获得物频谱的三种系统 习题 21 道 6.1 衍射系统 波前变换 • 引言 •衍射系统及其三个波前 •衍射屏函数及其三种类型 •例题——两个衍射屏相叠 •什么是衍射  引言 经典波动光学 现代变换光学 光学信息处理

傅里叶变换光学 傅里叶空间滤波\象质评价 光谱仪 信息处理传递函数 滑光仪 品体射图 贝成象原 点扩展函数 全息术 原理 射分光 射分析 行射应用 菲涅耳衍射夫琅和费衍射 光波衍射 惠更斯-菲涅耳原理 行射光学现代发展概貌图

6.2 衍射光学现代发展概貌图

衍射系统 ▲系统的划分 (r'y' 行射屏 ▲关注三个场分布 入射场01(x,y),出射场2(x,y), 衍射场(x,y) ▲波前变换概念 波前01(x,y)→02(x,y), 这是衍射屏的作用 波前02(x,y)→0(x,y), 这是波的传播行为 由HFK理论给出, 常见,傍轴情况 U2(x,y)· e dxdy

6.3  衍射系统 ▲系统的划分 ▲关注三个场分布 入射场 ( , ) ~ 1 U x y ， 出射场 ( , ) ~ 2 U x y ， 衍射场 ( , ) ~ U x′ y′ . ▲波前变换概念 波前 ( , ) ~ 1 U x y → ( , ) ~ 2 U x y ， 这是衍射屏的作用； 波前 ( , ) ~ 2 U x y → ( , ) ~ U x′ y′ ， 这是波的传播行为 ——由 HFK 理论给出， 常见，傍轴情况 ∫∫ ⋅ − ′ ′ ≈ U x y e dxdy r i U x y ikr ( , ) ~ ( , ) ~ 2 λ 0

●衍射屏函数 ▲定义t(x,y) U2(x,y) t(x ▲唯象看,三种类型。 振幅型——仅I(x,y),而φ与(x,y)无关 相位型——仅(x,y),而t与(x,y)无关 相幅型—一有(x,y),且(x,y),一般情况。 ▲于是,衍射场 (x',y)i(x, y).0,(x, y).e*dxdy U1(x,y)· e dxd 自由传播场 ●什么是波的衍射 ▲形成对波衍射的普遍表述 先前,曾有过关于“什么是波衍射”的两种说法:(参见书278页) 现在,可以这样表述: 当光波在传播中,由于某种因素,使其波前振幅分布或相位分布发生 变化,则其后场不同于自由传播场——发生衍射。这是对“衍射现 象因果关系”普遍概括 ▲两个衍射屏相叠 其屏函数t(x,y)=1·2,相乘

6.4  衍射屏函数 ( , ) 1 2 ( , ) ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) ~ i x y t x y e U x y U x y t x y ϕ = = ⋅ ▲唯象看，三种类型。 振幅型——仅t(x, y)，而ϕ 与(x, y)无关； 相位型——仅ϕ(x, y) ，而t 与(x, y)无关； 相幅型——有t(x, y)，且ϕ(x, y) ，一般情况。 ▲于是，衍射场 ∫∫ ⋅ ⋅ − ′ ′ ≈ t x y U x y e dxdy r i U x y ikr ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) ~ 1 λ 0 ≠ ∫∫ ⋅ − U x y e dxdy r i ikr ( , ) ~ 1 λ 0 ， 自由传播场  什么是波的衍射 ▲形成对波衍射的普遍表述 先前，曾有过关于“什么是波衍射”的两种说法：（参见书 278 页） 现在，可以这样表述： 当光波在传播中，由于某种因素，使其波前振幅分布或相位分布发生 变化，则其后场不同于自由传播场——发生衍射。这是对“衍射现 象因果关系”普遍概括。 ▲两个衍射屏相叠 其屏函数 1 2 ~ ~ ( , ) ~ t x y = t ⋅ t ，相乘 ▲定义

6.2相位衍射元件——透镜与棱镜 透镜的相位变换函数·例题1——导出薄透镜焦距公式 例题2——导出薄透镜傍軸成像公式·棱镜的相位变换函数 例题3——导出棱镜傍轴成像公式·窗函数 ●透镜的相位变换函数 ▲在成像系统中,透镜有两个作用 限制波前, (2)变换波前——改变聚散中心。 统一地,由其屏函数予以描述, A2( (x,y)={4(x,y)e(,(瞳内) 0,(瞳外) 近似条件——忽略反射、吸收损耗, 于是,瞳内 1(x,y)≈e((xy)(xy) 纯相位型屏函数

6.5 6.2 相位衍射元件——透镜与棱镜 •透镜的相位变换函数 •例题 1——导出薄透镜焦距公式 •例题 2——导出薄透镜傍轴成像公式 •棱镜的相位变换函数 •例题 3——导出棱镜傍轴成像公式 •窗函数  透镜的相位变换函数 ▲在成像系统中，透镜有两个作用 （1） 限制波前， （2） 变换波前——改变聚散中心。 统一地，由其屏函数予以描述， ( , ) 1 ( , ) 2 1 2 ( , ) ( , ) i x y i x y A x y e A x y e ϕ ϕ ⋅ ⋅ ，（瞳内）； 0，（瞳外）. 近似条件——忽略反射、吸收 损耗， 1 1 2 ≈ A A ， 于是，瞳内 ( ( , ) ( , )) 2 1 ( , ) ~ i x y x y Lt x y e ϕ −ϕ ≈ —— 纯相位型屏函数 ( , ) = ~ t x y

▲导出(x,y) A1l/d\A2 d 透镜参量 (F1,ndo,2) 近似条件:薄透镜、且傍轴, 有入射点P(x,y)与出射点Q(x,y) 坐标相近,“等高出射”; L(PQ可近似地沿光轴计算: L(PQ=△1(x,y)+nd(x,y)+△2(x,y) 其中,△(x,y)(x+y2) (x2+y2) 2(-12) 注意,、2自身含正负号, 改写nd=n(d0-△1-△2) =ndo-n(△1+△2), 于是L(x,y)=ndo-(m-1)△1+△2)

6.6 ▲导出 ( , ) ~ t x y L 近似条件：薄透镜、且傍轴， 有入射点P(x, y) 与出射点Q(x, y)， 坐标相近，“等高出射”； L(PQ)可近似地沿‖光轴 计算： ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 L PQ = ∆ x y + nd x y + ∆ x y . 其中， 1 2 2 1 2 ( ) ( , ) r x y x y + ∆ ≈ ， 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2( ) ( ) ( , ) r x y r x y x y + = − − + ∆ ≈ . 注意， 1 r 、 2r 自身含正负号， 改写 ( ) = 0 − ∆1 − ∆2 nd n d ( ) = 0 − ∆1 + ∆2 nd n ， 于是 ( , ) ( 1)( ) = 0 − − ∆1 + ∆2 L x y nd n ， 透镜参量 ( , , ) 1 0 2 r nd r

得相位变换函数 P2(x, y)-p,(x, y)=kL(x, y) -k(n-XA1+△2)=-k(n-1)x+y(1 (qo=kndo,与(x,y)无关,略而不写) 最后,薄透镜作为相位元件 其相位屏函数为 t=e 2F 缩写符合F= ▲可见 (1)薄透镜的相位变换函数具有“二次相因子”。 (2)在理论分析时,若存在“二次相因子”的变换函数,则其作用等效于一个薄透镜, 对被作用的波前起聚散作用 ●例题1当平行光正入射于透镜,求出射光的波前函数及其特征。 解入射光U1(x,y)=A1 出射光U2(x,y)=t1·U1=Ae2F 这是什么波? 傍轴球面波——一聚散中心(0,0,F) 即焦距为F=|(m-1( 可正可负。F>0,会聚透镜; F<0,发散透镜

6.7 得相位变换函数 ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 ϕ x y −ϕ x y = kL x y ) 1 1 ( 2 ( 1)( ) ( 1) 1 2 2 2 0 1 2 r r x y k n k n − + = ϕ − − ∆ + ∆ = − − . ( 0 0 ϕ = knd ，与 (x, y) 无关，略而不写) 最后，薄透镜 作为相位元件 其相位屏函数为 F x y ik Lt e 2 2 2 ~ + − = ， 缩写符合 ) 1 1 ( 1)( 1 1 2 r r n F − − = . ▲可见 （1） 薄透镜的相位变换函数具有“二次相因子”。 （2）在理论分析时，若存在“二次相因子”的变换函数，则其作用等效于一个薄透镜， ——对被作用的波前起聚散作用。  例题 1 当平行光正入射于透镜，求出射光的波前函数及其特征。 解 入射光 1 1 ( , ) ~ U x y = A ， 出射光 F x y ik L U x y t U A e 2 2 1 1 2 2 ~ ~ ( , ) ~ + − ＝ ⋅ = ， 这是什么波？ 傍轴球面波——聚散中心(0,0, F) 即 焦距为 1 1 2 ) 1 1 ( 1)( − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − r r F n ， 可正可负。 F > 0 ，会聚透镜； F < 0 ，发散透镜

●例题2试用透镜导出傍轴成像公式。 D,|D2 解发散球面波入射,其波前函数为 U1(x,y)≈Ae23, 于是出射波前为 U2(x,y)=t1·U1 ≈Ae2h·e25 其中,缩写 11 F U,表达式表明, 它代表一列会聚球面波, 聚(散)中心在(00,S) S"具有像距的意义。 即薄透镜傍轴成像、物像距之关系为

6.8  例题 2 试用透镜 Lt ~ 导出傍轴成像公式。 解 发散球面波入射，其波前函数为 S x y ik U x y A e 2 1 1 2 2 ( , ) ~ + ≈ ， 于是 出射波前为 2 1 ~ ~ ( , ) ~ U x y = tL ⋅U S x y ik F x y ik A e e 2 2 1 2 2 2 2 + + − ≈ ⋅ S x y ik Ae ′ + − = 2 1 2 2 ， 其中，缩写 S F S 1 1 1 = − ′ . 2 ~ U 表达式表明， 它代表一列会聚球面波， 聚（散）中心在(0,0, S′) ——S′具有像距的意义。 即 薄透镜傍轴成像、物像距之关系为 S S F 1 1 1 = ′ +

●棱镜的相位变换函数l (a)特殊方位 (b)一般方位 在光学系统中,棱镜起偏转作用 改变光束的传播方向。 可以预测其具有线性相因子(推导从略), 其结果为 (1) -ik(n-1)ax ≈已 ,(特殊) (2)t2(x,y)≈e -ik(n-D(ar+a,y) 其中,(a1,a2)是界面法线方向的两个方向余弦角的余 角 可见, 若某种场合出现具有线性相因子的变换函数, 则其作用等效于一个棱镜——“偏转元件

6.9  棱镜的相位变换函数 Pt ~ 在光学系统中，棱镜起偏转作用 ——改变光束的传播方向。 可以预测 其 Pt ~ 具有线性相因子（推导从略）， 其结果为 （1） ik n x Pt x y e− − ⋅ ≈ ( 1)α ( , ) ~ ，（特殊） （2） ( 1)( ) 1 2 ( , ) ~ ik n x y Pt x y e− − α +α ≈ ， 其中，( , ) α1 α2 是界面法线方向N r 的两个方向余弦角的余 角。 可见， 若某种场合出现具有线性相因子的变换函数, 则其作用等效于一个棱镜——“偏转元件”。 特殊方位 一般方位

●例题3物点Q向棱镜发射一傍轴球面波,求 通过棱镜后的波场特性。 Q 解出射波前为 U,(x,y)=tp U,=Ae -k(-lane 25 y2 (n-1)sax A 这表明它是一列轴外发散球面波,其中心位置Q, 坐标为 n-1)sa,y=0 显然,这种处理方式较之 几何光学方法(两条光线、两次折射), 要简捷得多!

6.10  例题 3 物点 Q 向棱镜发射一傍轴球面波，求 通过棱镜后的波场特性。 解 出射波前为 S x y ik ik n x P U x y t U A e e ( 1) 2 2 1 1 2 2 ~ ~ ( , ) ~ + − − = ⋅ = ⋅ α ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = S n s x S x y ik A e ( 1) α 2 1 2 2 － ， 这表明 它是一列轴外发散球面波，其中心位置Q′， 坐标为 x ′ = (n −1)sα ， y ′ = 0 ， z ′ = s . 显然，这种处理方式 较之 几何光学方法（两条光线、两次折射）， 要简捷得多！