成都理工大学：《大学物理》课程教学资源（PPT课件）第四章 刚体的转动（4.2）力矩转动定律

54-2力矩转动定律 力矩 刚体绕Oz轴旋转,力F 作用在刚体上点P,且在转动 平面内,F为由点O到力的 作用点P的径矢 F对转轴Z的力矩 =r×P O AP M= Frsin b= fd dl:力臂 F F ∑F=0,∑M=0∑F=0,∑M≠0

P z * O M = Frsin = Fd M  F  r   d d : 力臂 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . F  r  M r F    =  F 对转轴 Z 的力矩  Fi = 0 , Mi = 0   Fi = 0 , Mi  0   F  F  − F  F  − 一 力矩 M  §4-2 力矩 转动定律

讨论 1)若力F不在转动平面内,把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量 F=F+FI 其中F对转轴的力 /FF 矩为零,故F对转轴的 F 力矩 Mk=F×F1 M=rf sin e 2)合力矩等于各分力矩的矢量和 M=M,+M,+M,+

z O k  F  r  讨论 F = F z + F⊥    =  F⊥ M k r z    M z = rF⊥ sin Fz  F⊥  1）若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量 F  2）合力矩等于各分力矩的矢量和      M = M1 + M2 + M3 +  其中 对转轴的力 矩为零，故 对转轴的 力矩 Fz  F 

3)刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 M.=-M

3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 Mij M ji   = − j r  i r  i j Fij  Fji  d O Mij  M ji 

例1有一大型水坝高110m、长1000m,水深100m, 水面与大坝表面垂直,如图所示.求作用在大坝上的力, 以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩 da X y X 解设水深h,坝长L,在坝面上取面积元dA=Ldy 作用在此面积元上的力 dF= pda= pldy

例1 有一大型水坝高110 m、长1000m，水深100m， 水面与大坝表面垂直，如图所示 . 求作用在大坝上的力， 以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 . 解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积元 作用在此面积元上的力 dA = Ldy dF = pdA = pLdy y O h y x dA dy Q y O x

h=100m L=1000m dF= pda= pLdy da 令大气压为P0,则 p=po+pg(h-y dF=[po+pg(h-y)lLdy0 F=IPo+ pg(h-y)]Ldy= poLh+pgLh 2 代入数据,得 F=591×100N

( ) 0 p = p + g h − y 令大气压为 p0 ，则 dF [ p g(h y)]Ldy = 0 +  − 2 0 0 0 2 1 F [ p g(h y)]Ldy p Lh gLh h = +  − = +   代入数据，得 5.91 10 N 10 F =  dF = pdA = pLdy y O h y x dA dy h =100m L =1000m

h=100mL=1000m dF=lpo+pg(h-ylldy dF对通过点Q的轴的力矩h dm= vdF dM=lPo+pg(h-y)lldy M=yPo+ pg(h-y)]Ldy =poLh+-gplh 2 6 代入数据,得 M=2.14×102N.m

dM = ydF dM y[ p g(h y)]Ldy = 0 +  − 2 3 0 6 1 2 1 = p Lh + gLh  = + − h M y p g h y L y 0 [ 0  ( )] d 代入数据，得 2.14 10 N m 12 M =   F 对通过点 Q 的轴的力矩  d y O Q h y dy F  d dF [ p g(h y)]Ldy = 0 +  − h =100m L =1000m

转动定律 1)单个质点m与转 轴刚性连接 FF F=ma=mra M=rEsin e M=rf=mra M=mrta 2)刚体 质量元受外力F,内力 F Ms+My=△mra 外力矩 内力矩

O r  m z 二 转动定律 F   Ft  Fn M = rFsin  Ft = mat = mr  2 ej ij j j M + M = m r 2）刚体 质量元受外力 ，内力 Fej  Fij  M  1）单个质点 与转 轴刚性连接 m 外力矩 内力矩 2 M = mr  2 M = rFt = mr O z mj j r  Fej  Fij 

∑M+∑M=∑△mr1 :M=M ∑Mn=0 ∑M=C∑△mr2)a 定义转动惯量J=∑Mm2J=「 r an ◆转动定律 M=Ja 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比,与刚体的转动惯量成反比

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 . M M mj rj α j j j j 2  e + i = = −  = 0 j Mi j M j i Mi j M mj rj )α j j 2 e  = ( 转动定律 M = J 2 j j j 定义转动惯量 J = m r J r dm 2  = O z mj j r  Fej  Fij 

转动惯量 =∑Mm7,J=∫rm 物理意义:转动惯性的量度 转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量 nn m11+m21 质量连续分布刚体的转动惯量 J=>Mmr2=| rdm dm:质量元

J m rj J r m j j , d 2 2   =  = 三 转动惯量 ➢ 物理意义：转动惯性的量度 . ➢ 质量离散分布刚体的转动惯量 J = m rj 2 = m1 r1 2 + m2 r2 2 + j j 转动惯性的计算方法 ➢ 质量连续分布刚体的转动惯量 J m rj r m j j d 2 2   =  = dm ：质量元

质量连续分布刚体的转动惯量 J=∑Am/2 Idm dm:质量元 对质量线分布的刚体:dm=dl :质量线密度 对质量面分布的刚体:dm=adS O:质量面密度 对质量体分布的刚体:dm=pd :质量体密度

 对质量线分布的刚体： ：质量线密度 dm = dl   对质量面分布的刚体： ：质量面密度 dm =dS   对质量体分布的刚体： ：质量体密度 dm = dV  dm ：质量元 ➢ 质量连续分布刚体的转动惯量 J m rj r m j j d 2 2   =  =