《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）附录 平面图形的几何性质

附录I平面图形的几何性质8I-1引言8I-2静矩、形心及相互关系8I-3惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径8I-4惯性矩与惯性积的移轴定理8I-5惯性矩与惯性积的转轴定理8I-6主轴与形心主轴、主矩与形心主矩返回

返回 附录I 平面图形的几何性质 §I-1 引 言 §I-2 静矩、形心及相互关系 §I-3 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 §I-4 惯性矩与惯性积的移轴定理 §I-5 惯性矩与惯性积的转轴定理 §I-6 主轴与形心主轴、主矩与形心主矩

附录I平面图形的几何性质SI-1青静矩和形心静矩定义：一zdAdA一(L1)S, = J, ydA

附录I 平面图形的几何性质 §I—1 静矩和形心 一、 静矩定义： S y = Sz = A zdA A ydA z y z y dA ( I.1 )

X例1：求图形的h(l-V=6h解：XE一小d = dk = h(-)dr6bh七S, = (xdA=I xh(1-Odx40

例 1：求图形的 S y 解： dx bx dA ydx h ( 1 ) 22 = = − = = A y S xdA y x ( 1 ) 22 bx y = h − b h x dx  − = b b h dx bx x h 0 2 22 4 ( 1 )

二、形心：1、形心位置：ydAzdASSJ(1.2 )- (1.3 )AAAA2、形心坐标与静矩关系：dAS, =yA(1.4)S,=zA

二、形心： 1、 形心位置： A ydA y A  = A zdA z A  = 2、 形心坐标与静矩关系： z y z y dA Sy = zA Sz = yA A Sy = A Sz = C y z ( I.2 )- ( I.3 ) ( I.4 )

例2：求阴影面积对y轴的静矩解：由已知：y=O,z=-e..S. =0S, =zA=(-e)bh例3：求矩形截面对z，y轴的静矩2:z=0,y=0:. S, =0,S, =0当某轴通过截面形心时，截面对此轴静矩为零：反之，若截面对某轴的静矩为零，则该轴必过形心

Sy = zA = (−e)bh 例2：求阴影面积对y轴的静矩 解：由已知：  = 0 z S 当某轴通过截面形心时，截面对此轴静矩为零； 反之，若截面对某轴的静矩为零，则该轴必过形心 y = 0, z = −e z y h e b z = 0, y = 0  = 0, = 0 z y S S 例3：求矩形截面对z,y轴的静矩 z y C

三、组合截面的静矩：S, = zdAzdA..A+A2+A3 (zdA+ (zdA+ zdA+.:A3=Si, +S2, +S3y.=AZ1 + A,22 + A,z =ZAzii1(1.5)S,=ZAJ,即：整个图形对某轴整个图形对某轴的的静矩等于各组成部分静矩等于各组成部分面积乘对该轴静矩的代数和以相应的形心坐标的代数和

三、组合截面的静矩： = = + +  = n i i i A z A z A z A z 1 3 3 2 2 1 1 = = n i z i i S A y 1 即： ① 整个图形对某轴 的静矩等于各组成部分 对该轴静矩的代数和 ② 整个图形对某轴的 静矩等于各组成部分面积乘 以相应的形心坐标的代数和 z y ① ③ ②  = A y S zdA  + + =  A1 A2 A3 zdA = + + +    A1 A2 A3 zdA zdA zdA = + +  y y y S S S 1 2 3 ( I. 5 )

于是形心坐标公式可写为：ZZAJ,ZA=iV=Z=ZAZA(I. 6)四、静矩特点：1.对不同的轴有不同的静矩；2.已知静矩，可定形心，反之亦然；3.单位：m；mm3

四、静矩特点： 1.对不同的轴有不同的静矩； 2.已知静矩，可定形心，反之亦然； 3.单位：m3；mm3  = = i n i i i A A y y 1  = = i n i i i A A z z 1 于是形心坐标公式可写为： z y C y z ( I. 6 )

1B例1.3：石确定截面形心ba解：据公式：1616AZ大+A小Z小700A+A小CdINCA± =1.4×0.86 =1.204m51=×1.4=0.7mZ大二DC2860=-(1400-66)×10-3 ×(860- 32)×10-3A小= -1.105m2(1400-66)×10-3+50×10-3=0.717mZ小三21.204×0.7-1.105x0.7170.51m1.204-1.105

例I.3：确定截面形心 解：据公式： 大 小 大 大 小 小 A A A z A z z ++ = 2  A 大 = 1.4  0.86 = 1.204 m z 1.4 0.7 m 21 大 =  = 2 3 3 1.105 1400 66 10 860 32 10 m A= − = − −   −  （ ） − （ ） − 小 z 1400 66 10 50 10 0.717 m 21 3 3 = −  +  = （ ） − − 小z 0.51 m 1.204 1.105 1.204 0.7 1.105 0.717 = −  −  = 50 C A B D C a b d c z 16 16 y z 1400 16 860

S2惯性矩和惯性半径dA一、 定义：I, =J,y'dA1.惯性矩：(17)DI, =J2'dA2.惯性半径：1=VE(19)112.极惯性矩：I,=』p’dA(1 10 )

§I—2 惯性矩和惯性半径 一、 定义： 1.惯性矩： Iz = 2.极惯性矩：  = A I y z dA 2  = A I p dA 2  2. 惯性半径： A I i y y = A I i z z = z y z y dA y dA 2 A y dA 2 ( I. 7 ) ρ ( I. 9 ) ( I. 10 )

二、 性质：1.I、I、I恒为正，dA2.单位：I、I,、Ip：mt,i.: m;03.1,= I,+ 12:p?=z?+ y2:. I, = f(2? +y2)dA= I, + Iz

二、 性质： z y p 1.I 、I 、I 恒为正， y z p I 、I 、I ：m4 ， p y z 3.I = I + I ：m， mm z y z 2.单位： y dA y z i 、i ：m; 2 2 2  = z + y   = + = + A p y Z I (z y )dA I I 2 2 ρ