《材料力学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 能量法（能量原理）

能量法第十二章$12-1能量法的概念812-2杆件应变能的普遍表达式812-3虚功原理812-4单位荷载法图乘法812-5卡氏定理S12-6互等定理

第十二章 能量法 §12-2 杆件应变能的普遍表达式 §12-3 虚功原理 §12-4 单位荷载法 图乘法 §12-5 卡氏定理 §12-1 能量法的概念 §12-6 互等定理

812-1能量法的概念应变能V由于变形而储存于弹性体内部的能量。功能原理静载下，外力所做的功全部转变为应变能V. =W利用功能原理分析计算杆件或结构的变形、位移和内力等问题的方法称为能量法

§12-1 能量法的概念 应变能 V ——由于变形而储存于弹性体内部的能量 。 V = W 功能原理 ——静载下，外力所做的功全部转变为应变能 利用功能原理分析计算杆件或结构的变形、位移和内力 等问题的方法称为能量法

$12-2杆件应变能的计算（压）一、轴向拉P(X)X44二AFLWAlFAI = V，而EA2F?Ldx或：2EA2EA

一、轴向拉（压） , 2 1 V W = Fl = EA FL 而 l = EA F L V 2 2   =  = L N EA F dx V 2 2 或：  dX FN（X） P Δ Δ F X §12-2 杆件应变能的计算

二、扭转MeMeMedM.L外力功W=1而:D2GIpM'l2GIpdXtT(x)dx或：2GIp

二、扭转 外力功 而：  = l GIP T x dx V 2 2 ( )  或： Me φ P e GI M l V 2 2   = Me Me dX W = Me  =V 2 1 P e GI M L  =

三、弯曲：(Fs的影响略去)M,(x)内力与变形dedx仍成正比EIWdode(X) +dM, (X)M(x)dwM22221<SIFsMdxYde22EI(x)M,(X) +dM, (X)2EILdedo22

三、弯曲: (FS的影响略去) dx EI M x d z z ( )  = 内力与变形 仍成正比   2 ( ) 2 1 2 ( ) 2 1  d M x dM d dW M x = z + z + z dx EI M x M x d z z z 2 ( ) ( ) 2 1 2 =  =   = = L z z L EI M x dx V dW 2 2 ( )  FS FS Mz（X） Mz（X）+dMz（X） 2 d 2 d Mz（X） Mz（X）+dMz（X） dθ z X dX

4、组合变性杆的变形能计算：小变形时，各基本变形的变形能可单独计算，然后相加，得到组合变性杆的总变形能。即：M?(x)T2(x)V, = E'(α)dx+dx +dx2GIp2EA2EI注意：变形能是力的二次函数，因此，引起同一基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，并不等于各力分别作用时产生的变形能之和。例如：(P +P)~LV-32122经热热热热热花12EAEAEAEAP'L+P'LPP,L+±EA2EA2EA+V +VPP +P结论：变形能与加载次序无关。P

4、组合变性杆的变形能计算： 小变形时，各基本变形的变形能可单独计算，然后相加，得到组 合变性杆的总变形能。即：    = + + L L P L N dx EI M x dx G I T x dx EA F x V 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2  注意:变形能是力的二次函数，因此，引起同一基本变形的一组外 力在杆内所产生的变形能，并不等于各力分别作用时产生的变形能之 和。例如： P1 + P2 P1 P2 EA EA EA  + 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 ( ) V V EA PP L EA P L EA P L EA P P L V  + = + + +  = 结论：变形能与加载次序无关

V五、变形能的普遍表达式一、V。的普遍表达式：：V与加载的中间过程无关，只与载荷最终值有关.设F，…F,按相同比例由0分别加至各自最终值。则：各载荷与相应位移保持线性关系1==F8+=.SF,02F11n201-aF1F52F3FK?F3306.28,633020

一、Vε 的普遍表达式： 五、 变形能的普遍表达式 ∵ Vε 与加载的中间过程无关，只与载荷最终值有关 ∴ 设 F1 . Fn按相同比例由0分别加至各自最终值。 则： 各载荷与相应位移保持线性关系 F1 Fn F3 F2 δ1 δ2 δ3 δn V W F  F  Fn  n 2 1 2 1 2 1  = = 1 1 + 2 2 ++ F δ 3  1 3 2 1 δ1 3 2F1 3 F1 F1

$133虚功原理虚位移概念：虚位移结构在原有载荷作用下平衡，再发生的位移称为虚位移。FAP1P2满足边界条件满足连续性条件微小变形※可与载荷作用下的真实位移无关※可是载荷作用下的真实位移的增量※可是另一与之相关的系统载荷作用下的真实位移

一、 虚位移概念： §13—3 虚功原理 虚 位 移 满足边界条件 满足连续性条件 微小变形 ※ 可与载荷作用下的真实位移无关 ※ 可是载荷作用下的真实位移的增量 ※ 可是另一与之相关的系统载荷作用下的真实位移. 结构在原有载荷作用下平衡，再发 生的位移称为虚位移。 A F P2 FFPP11 FP2

两梁除载荷外其它条件均相同：在载荷作用下分别产生位移w(x), w(x2)可把w(x）看成第二梁的虚位移qW2(x)Wi(x)Ow=W (x)

两梁除 载荷外其它条件均相同： P q w1 (x) w2 (x) δw=w1 (x) 可把 w(x1 ) 看成第二梁的虚位移 在载荷作用下分别产生位移 ( ), ( ) 1 2 w x w x ( ) 1 w x

FFp2P1虚功原理表述1I对于一个处于平衡状态下的杆件，其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功也必然等于零。数学表达式：W.+W =0弹性体平衡

A FP1 FP2 二、 虚功原理表述 对于一个处于平衡状态下的杆件，其外力和内力对 任意给定的虚位移所作的总虚功也必然等于零 。 数学表达式： 弹性体平衡 We +Wi = 0