《材料力学》课程教学资源（PPT课件）第七章 弯曲变形

第八章弯曲刚度87.1挠度、转角及其相互关系87.2挠曲线微分方程87.3确定梁位移的积分法87.4确定梁位移的叠加法87.5梁的刚度计算提高梁刚度的措施87.6简单静不定梁

§ 7.6 简单静不定梁 §7.1 挠度、转角及其相互关系 § 7.2 挠曲线微分方程 § 7.3 确定梁位移的积分法 § 7.4 确定梁位移的叠加法 § 7.5 梁的刚度计算 提高梁刚度的措施

7.1挠度、转角及其相互关系梁在外力作用下产生弯曲变形，其横截面的位置将发“位移”生改变，称为梁的如图所示之悬q臂梁，设梁在外力Ac作用下发生平面弯曲。梁变形后，其上任意横截面将发生三种位移：(a)

7.1 挠度、转角及其相互关系 梁在外力作用下产生弯曲变形，其横截面的位置将发 生改变，称为梁的“位移”。 如图所示之悬 臂梁，设梁在外力 作用下发生平面弯 曲。梁变形后，其 上任意横截面将发 生三种位移： θ q P C ⊿x ⊿c x ( a )

7.1挠度、转角及其相互关系截面形心C沿垂直于轴线方向的铅垂位移，称为“挠度”，用y表示。截面相对于变形前初始位置所转过的角度，称为“转角”，用表示。截面形心C沿轴向的“水平位移”其中：三种位移中，挠度和转角是主要的在小变形的条件下，水平位移很小，因为忽略不计

三种位移中，挠度和转角是主要的。 在小变形的条件下，水平位移很小，因为忽略不计。 截面形心C沿垂直于轴线方向的铅垂位移，称为“挠 度”，用y表示。 截面相对于变形前初始位置所转过的角度，称为“转角”， 用θ表示。 截面形心C沿轴向的“水平位移”。 其中： 7.1 挠度、转角及其相互关系

7.1挠度、转角及其相互关系在平面弯曲和弹性范围内加载的情形下，梁的轴线在梁变形后弯曲成一条光滑连续的平面曲线，且位于外力作用面内，这曲线称为“挠度曲线”，简称“挠曲线”以梁的左端为原点，建立Oxyyy=f(x)坐标系，其中x轴与变形前梁的轴H线一致，y轴垂直向上，如图所示。在Oxy坐标中挠曲线可用方Yc程y=y（x）描述，此方程称为挠曲线方程”或“挠度方程”。中0P梁变形后挠曲线上任意一点（以x表示）的(b)纵坐标y（x），即为过该点的截面的挠度

在平面弯曲和弹性范围内加载的情形下，梁的轴线 在梁变形后弯曲成一条光滑连续的平面曲线，且位于外 力作用面内，这曲线称为“挠度曲线”，简称“挠曲 线”。以梁的左端为原点，建立Oxy 坐标系，其中x轴与变形前梁的轴 线一致，y轴垂直向上，如图所示。 在Oxy坐标中挠曲线可用方 程y=y（x）描述，此方程称为 “挠曲线方程”或“挠度方程”。 梁变形后挠曲线上任意一点（以x表示）的 纵坐标y（x），即为过该点的截面的挠度。 7.1 挠度、转角及其相互关系 θ q P θ y f x = ( ) C y O c y ( b )

7.1挠度、转角及其相互关系根据平面假设，梁变形后横截面仍保持平面并且垂直于挠曲线，因此，任一横截面的转角，也可用挠曲线上与该截面形心对应点处的切线与x轴的夹角来表示dytgo=1dx工程中，绝大多数梁的变形都属于小变形范围，因而梁的转角θ一般也很小，可取tg0= 0dy0=tgo==y（挠度与转角间的关系）dx梁的任一横截面转角θ等于梁的挠度方程y(x)对x的一阶导数在该截面处的数值

根据平面假设，梁变形后横截面仍保持平面并且垂直 于挠曲线，因此，任一横截面的转角，也可用挠曲线上与 该截面形心对应点处的切线与x轴的夹角来表示。 y' dx dy tg = = 工程中，绝大多数梁的变形都属于小变形范围，因而 梁的转角θ一般也很小，可取 tg =  y' dx dy  = tg = = （挠度与转角间的关系） 梁的任一横截面转角θ等于梁的挠度方程y(x)对x的一 阶导数在该截面处的数值。 7.1 挠度、转角及其相互关系

7.1挠度、转角及其相互关系挠度与转角的正负号规定与y坐标正方向一致的挠度为正，反之为负；转角θ自x正向转向y正向的e为正；自x轴正向转向y负向e为负。yy=f(αx)思考：H图中挠度、转角的方向Y00qK(b)

挠度与转角的正负号规定 与y坐标正方向一致的挠度为正，反之为负； 转角θ 自x正向转向y正向的θ为正；自x轴正向转向y负向θ 为负。 思考： 图中挠度、 转角的方向 7.1 挠度、转角及其相互关系 θ q P θ y f x = ( ) C y O c y ( b )

7.1挠度、转角及其相互关系工程结构设计中，对某些承受弯曲的构件，除要求有足够的强度外，往往还要求有足够的刚度，即：弯曲后的弹性挠度和转角都不能超过一定限度，否则也将会使构件丧失正常工作能力。例如，机械传动中常用的齿轮轴，若弯曲后安装齿轮的截面处挠度或转角过大，不仅会加大齿轮间磨损，而且会产生噪声。再如各种车辆上的板簧，要求能够产生较大的挠度，才能缓和车辆行驶时受到的冲击和振动

工程结构设计中，对某些承受弯曲的构件，除要求有 足够的强度外，往往还要求有足够的刚度，即: 例如，机械传动中常用的齿轮轴，若弯曲后安装齿轮 的截面处挠度或转角过大，不仅会加大齿轮间磨损，而且 会产生噪声。 再如各种车辆上的板簧，要求能够产生较大的挠度， 才能缓和车辆行驶时受到的冲击和振动。 7.1 挠度、转角及其相互关系 弯曲后的弹性挠度和转角都不能超过一定限度，否 则也将会使构件丧失正常工作能力

7.2挠曲线微分方程7.2.1挠曲线微分方程前章所及的公式也是确定梁挠曲线去曲率的公式：1_ Mz(a)EID对于细长梁,剪力对变形的影响很小,可以忽略不计，因此在横弯曲中上式仍适用。但是式中的弯矩M，与曲率半径p应为x的函数,即1Mz(x)(b)EIzp(x)又因为d?yd'y1dx?(c)=±Mz(x)dx?p(x)/2土一[1+(dyp/2EIz[1 +(dxdx（c）式代入得（b）得：

7.2.1 挠曲线微分方程 前章所及的公式也是确定梁挠曲线去曲率的公式: Z Z EI M =  1 Z Z EI M x x ( ) ( ) 1 =  对于细长梁,剪力对变形的影响很小,可以忽略不计，因此 在横弯曲中上式仍适用。但是式中的弯矩 与曲率半径 应为x的函数,即  MZ 又因为 2 3/ 2 2 2 [1 ( ) ] ( ) 1 dx dy dx d y x + =   Z Z EI M x dx dy dx d y ( ) [1 ( ) ] 2 3/ 2 2 2 = +  7.2 挠曲线微分方程 (a) (b) (c) （c）式代入得（b）得：

7.2挠曲线微分方程dy是一个很小的量，因此(在小变形条件下，日<<Idx式孚可以简化为：可以忽略不计。于是，d?yMz(x)土dr?EIz这就是小挠度挠曲线微分方程。式中,Mz(x)为弯矩方程，EI,为梁的抗弯刚度

在小变形条件下， 是一个很小的量，因此 可以忽略不计。于是，式子可以简化为： dx dy  = Z Z EI M x dx d y ( ) 2 2  = ( ) 1 2  dx dy 这就是小挠度挠曲线微分方程。式中， 为弯矩方 程， 为梁的抗弯刚度。 M (x) Z EIZ 7.2 挠曲线微分方程

7.2挠曲线微分方程正负号取向ydy如按图（a）所示取向上的y为正>0dx?向，则当梁段在正弯矩作用时，挠曲M,>0线为向上凹的曲线，这时二阶导数d2ydx?为正;当梁段在负弯矩作用时，挠曲线X为向上凸的曲线，这时的二阶导数"0dx?(a)为负。此图中，弯矩Mz(x)与 d'’y同号，所以：d2Mz(x)1dr?dr2Elz

正负号取向 如按图（a）所示取向上的y为正 向，则当梁段在正弯矩作用时，挠曲 线为向上凹的曲线，这时二阶导数 为正； 当梁段在负弯矩作用时，挠曲线 为向上凸的曲线，这时的二阶导数 为负。 此图中，弯矩 与 同号，所以： M (x) Z 2 2 dx d y Z Z EI M x dx d y ( ) 2 2 = 2 2 dx d y 2 2 dx d y 7.2 挠曲线微分方程 x y o ( a ) 2 2 Mz d y dx ＞0 ＞0