《材料力学》课程教学资源（PPT课件）第十章 压杆稳定

第十章　压杆稳定

第十章10.1压杆稳定的基本概念10.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力10.3支承对临界力的影响常见支承条件下压杆临界力的通用公式10.4临界应力与柔度三类不同的压杆10.5压杆稳定安全校核10.6稳定性计算的重要意义提高压杆承载能力的措施

10.1 压杆稳定的基本概念 10.2 压杆临界载荷的确定 欧拉临界应力 10.5 压杆稳定安全校核 10.4 临界应力与柔度 三类不同的压杆 10.3支承对临界力的影响 常见支承条件下压杆临界力的通用公式 10.6 稳定性计算的重要意义 提高压杆承载能力的措施

8 10.1 压杆稳定的基本概念实例分析考察图10.1中所示之中心受压的理想直杆D当压力P小于某个数值时，在任意小的扰动下，压杆偏离原来的直线平衡位置（例如产生微弯）。当扰动除去后，压杆又能回复到原来的直线平衡置。图10.1

考察图10.1中所示之中心受压的理想直杆。 P §10.1 压杆稳定的基本概念 当压力P小于某个数值 时，在任意小的扰动下， 压杆偏离原来的直线平衡 位置（例如产生微弯）。 当扰动除去后，压杆又能 回复到原来的直线平衡位 置。 图10.1

810.1压杆稳定的基本概念当外加压缩载荷P小于一稳定定数值时，压杆只能在直线这唯一的位置保持平衡。直线平衡位置当扰动去除后，压杆不能再不稳定回到原来的直线平衡位置，而在某一弯曲状态下达到新平衡临界点：稳定的和不稳定的直线平衡形式之间的分界点称为“临界点”临界载荷：与临界点相对应的载荷，称为“临界载荷”，用Pcr表示。Pcr是稳定直线平衡状态的最高载荷

临界点：稳定的和不稳定的直线平衡形式之间的分 界点称为“临界点” 。 临界载荷：与临界点相对应的载荷，称为“临界载 荷”，用Pcr表示。Pcr是稳定直线平衡状态的最高载荷。 §10.1 压杆稳定的基本概念 直线平衡位置 稳定 不稳定 当外加压缩载荷P小于一 定数值时，压杆只能在直线 这唯一的位置保持平衡。 当扰动去除后，压杆不能再 回到原来的直线平衡位置，而 在某一弯曲状态下达到新平衡

810.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力确定压杆临界载荷的方法比较多，现以两端铰支的等截面直杆为例，说明确定压杆临界载荷的“静力方法oxD考察图10·2中所示之承受轴向压缩的等截面直杆，两端均为球铰链约束。0V

§10.2 压杆临界载荷的确定 欧拉临界应力 确定压杆临界载荷的方法比较多，现以两端铰支的等截 面直杆为例，说明确定压杆临界载荷的“静力方法”。 考察图10·2中所示 之承受轴向压缩的等截 面直杆，两端均为球铰 链约束。 P P O x y

810.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力思考！当轴向载荷为何值时，产生微弯的扰动去除后，压杆能保持在微弯的平衡位置即压杆既不能回到原来的直线平衡位置，也不能再偏离微弯的平衡位置而产生更大的弯曲变形？

当轴向载荷为何值时，产生微弯的扰 动去除后，压杆能保持在微弯的平衡位置， 即压杆既不能回到原来的直线平衡位置， 也不能再偏离微弯的平衡位置而产生更大 的弯曲变形？ §10.2压杆临界载荷的确定 欧拉临界应力

810.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力试考虑压杆在微弯状态下任意一段（图102中所M(x) = -Py示），得：d?yPEI=-Py-2dxP令K2EI2d1则+k2y=02dx0方程的通解：y=C,sin kx+C,coskx

试考虑压杆在微弯状态下任意一段（图10·2中所 示），得 ： 0 ( ) 2 2 2 2 2 2 + = = = − = − k y dx d y EI P k Py dx d y EI M x Py 则 令 y C sin k x C cos k x 方程的通解： = 1 + 2 ： §10.2压杆临界载荷的确定 欧拉临界应力 P P O x y

810.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力x=0y=0边界条件为：y=0x=LC2 = 0Pn元kL=n元, n=0,1,2,...k=C sin kx = 0EILEIn*元即:P(10.1)L?（10·1）式便是计算两端铰支、等截面压杆临界载荷的表达式

边界条件为：    = = = = 0 0 0 x L y x y    = = sin 0 0 1 2 c kx c k L = n, n = 0 ,1, 2 ,  L n EI P k  = = 2 2 L n π EI Ρ 2 即： = （10.1） §10.2压杆临界载荷的确定 欧拉临界应力 （10·1）式便是计算两端铰支、等截面压杆临界载荷的表达式

810.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力对于不同的n值，压杆有不同的微弯波形，临界载荷因此而异。工程上有意义的是这些临界载荷中的最小者，即n=1时的P。值。这时的临界载荷称为“第一临界力”，又称“欧拉临界力77元2EI(10.2)PL?这一表达式又称为“欧拉公式”。此式表明，欧拉临界力（P。）与抗弯刚度成正比；与杆长的平方（L2）成反比

对于不同的n值，压杆有不同的微弯波形，临界 载荷因此而异。工程上有意义的是这些临界载荷中的 最小者，即n=1时的P cr值。这时的临界载荷称为“第 一临界力”，又称“欧拉临界力 ” ： 2 2 L  EI P cr = （10.2） §10.2压杆临界载荷的确定 欧拉临界应力 这一表达式又称为“欧拉公式”。此式表明，欧拉临 界力（P cr）与抗弯刚度成正比；与杆长的平方（L2）成反比

810.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力应用上式时，注意以下两点：注意1.欧拉公式只适用于弹性范围，即适用于弹性稳定性问题2.公式中的是压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩

应用上式时，注意以下两点： 1.欧拉公式只适用于弹性范围，即适用于弹性稳定 性问题。 2.公式中的I是压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。 §10.2压杆临界载荷的确定 欧拉临界应力