《运筹学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 线性规划

第五章线性剡 线性规划模型 线性规划的图解 单纯形法原理 单纯形法 单纯形表 单纯形的理论分析 人工变量法

1 第五章 线性规划 线性规划模型 线性规划的图解 单纯形法原理 单纯形法 单纯形表 单纯形的理论分析 人工变量法

§5實性覜的数学型 、问题的提出 例1:生产计划问题: 利润 甲 B55 (元/公斤 970 乙 39 30 限制工时 540 450 720 间:甲乙各产多少,使企业利润最大

2 §5.1 线性规划的数学模型 一、问题的提出 例1：生产计划问题： 问：甲乙各生产多少，使企业利润最大？ 设备 产品 A B C 利润 (元/公斤) 甲 3 5 9 70 乙 9 5 3 30 限制工时 540 450 720

人设备 B 利润 品 C (元/公斤 甲 3 5 9 70 5 30 限制工时 540 450 720 解:设产品甲、乙各生产x1,x2公斤 设总利润为Z,则: maxz=70x, t30x 3x,+9x,<540 5x1+5x,≤450}资源约束 9x,+3x<720 x,x2≥0 变量非负约束

3 解:设产品甲、乙各生产x1， x2公斤 max 70 30 Z x x = +1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 9 540 5 5 450 . 9 3 720 , 0 x x x x s t x x x x  +    +   +      设总利润为Z，则： 设备 产品 A B C 利润 (元/公斤) 甲 3 5 9 70 乙 9 5 3 30 限制工时 540 450 720 资源约束 变量非负约束

上、线性规划模型的一般特点 1决策变量:向量(x1x) 行动方案 2、目标函数:z=f(x1…x)线性式,----明确的目标要求,极大或极小 3、约束条件:线性等式或不等式 反映了客观限制条件。 线性规划模型的一般形式: C;为价值条数 Max(Min)Ec1x1+C2X2+……+CnX a1x计+a1x2+……,+x2(=或≌)b1 a21x1+a2x2+.…+a2xn≥(=或≌)b2 约束方程 st ●。。。 amx十+an2x2+……+ aX≥(或s)bn x(j=1,:,n)(≤)0,或者没有限制 心 变量约束

4 二、线性规划模型的一般特点 Max(Min) z=c1 x1+c2 x2+……+cn xn a11x1+a12x2+……+a1n xn ≥(=或≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2n xn ≥(=或≤)b2 …… am1 x1+am2 x2+……+amnxn ≥(=或≤)bm xj (j=1,…,n) ≥(≤) 0，或者没有限制 s.t. cj为价值系数 反映了客观限制条件。 明确的目标要求，极大或极小 行动方案 线性规划模型的一般形式： 1、决策变量：向量(x1…xn ) T 2、目标函数：Z=ƒ(x1… xn )线性式， 3、约束条件：线性等式或不等式 变量约束 约束方程

、常用的线性规划機型 例2:资源合理利用问题: 某厂生产A、B两种产品,都需用煤、金属材料、电力等资 源,各产品对三种资源的消耗及可供利用的资源如表2示: 表2: 资源煤(吨)|金属材料电力 产品利润 产品 (公斤) (千瓦)(元吨) A 80 50 6000 B 68 50 10 5000 资源供应量 540 4000 2000 同;应匙何要排生产,使业利最式7

5 资源 产品 煤（吨） 金属材料 （公斤） 电力 （千瓦） 产品利润 （元/吨） A 6 80 50 6000 B 8 50 10 5000 资源供应量 540 4000 2000 表2： 例2：资源合理利用问题： 某厂生产A、B两种产品，都需用煤、金属材料、电力等资 源，各产品对三种资源的消耗及可供利用的资源如表2示： 问：应如何安排生产，使企业获利最大？ 三、常用的线性规划模型

设产品A、B产量分别为变量x1,x2(吨),则 max z=6x,t 5x 6x1+8x2≤540 80x1+50x2≤4000 s t 50x1+10x,≤2000 x1,x2≥0 资源煤(吨) 金属材料 电力 产品利润 产品 (公斤) (千瓦) (元吨) A 80 50 6000 50 10 5000 资源供应量 540 4000 2000

6 解：设产品A、B产量分别为变量x1 ， x2（吨），则：         +  +  +  = + , 0 50 10 2000 80 50 4000 6 8 540 . max 6 5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x st Z x x 资源 产品 煤（吨） 金属材料 （公斤） 电力 （千瓦） 产品利润 （元/吨） A 6 80 50 6000 B 8 50 10 5000 资源供应量 540 4000 2000

例3、合理下料问题: 有一批长度为180厘米的钢管,需截成70、52和35厘米3 种管料。它们的需求量分别不少于100、150和100根。问如 何下料才能使钢管的消耗量为最少? 先找出各种可能的下料方式:(再在各种可能的下料方案中去 选择) 设在180厘米长的钢管上能下出u个70厘米管料,v个52厘米 管料,w个35厘米,则满足约束条件 70u+52v+35w<180,其中,u,v,w只能是正整数。 从最大尺寸管料下起:

7 例3、合理下料问题： 有一批长度为180厘米的钢管，需截成70、52和35厘米3 种管料。它们的需求量分别不少于100、150和100根。问如 何下料才能使钢管的消耗量为最少？ 先找出各种可能的下料方式：（再在各种可能的下料方案中去 选择） 设在180厘米长的钢管上能下出u个70厘米管料，v个52厘米 管料， w个35厘米，则满足约束条件： 70u+52v+35w≤180，其中，u，v，w只能是正整数。 从最大尺寸管料下起：

各种可能的下料方案: II III IV VI VII VIII 70 I20 0 52 210 V030 022 005 351013 3 合计175174|157175156174157175 余料56235246235

8 I II III IV V VI VII VIII 70 2 1 1 1 0 0 0 0 52 0 2 1 0 3 2 1 0 35 1 0 1 3 0 2 3 5 合计 175 174 157 175 156 174 157 175 余料 5 6 23 5 24 6 23 5 各种可能的下料方案：

解设第肿方索下料的原材料为x根 miZ=5x+6x,+23x2+5x+24x;+6x6+23x+Ss 2xn+x2+2+X4 100 2x,+x3+ 3x+2x6+x7 150 +x3+3x4+x6+3x+5x82100 x;≥0(=1,),且为整数

9 2x1 + x2 +x3+x4 ≥100 2x2 +x3+ 3x5+2x6+x7 ≥150 x1 +x3+3x4+ x6+3x7+5x8≥100 xi  0 (i =1,…,8)，且为整数 min Z= 5x1 + 6x2＋23x3+5x4+24x5+6x6+23x7+5x8 解：设按第j种方案下料的原材料为xj根

例4:运输问题 冶炼 2 3 B4总产量 A 1.5 2 0.3 3 100 7 0.8 1.4 80 12 0.3 2 2.5 50 总需求量 50 70 80 30 230 问:如何安排运输,使运输费用最小?

10 例4：运输问题 问：如何安排运输，使运输费用最小？ 冶炼厂 矿山 B1 B2 B3 B4 总产量 A1 1.5 2 0.3 3 100 A2 7 0.8 1.4 2 80 A3 1.2 0.3 2 2.5 50 总需求量 50 70 80 30 230