武汉大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第二章（2.5）推迟势

§2.5推迟势 定解问题 n-a2△n=f(M,t) l10=0 t=0 这是一个具有零值初始条件的有源空间波问题

§2.5 推迟势 一、定解问题 ï î ï í ì = = - D = = = | 0 | 0 ( , ) 0 0 2 t t t tt u u u a u f M t 这是一个具有零值初始条件的有源空间波问题

二、求解 利用冲量原理,先 v-a Av= 0 考虑无源问题: vl==0 v1|==f(M,r) 由泊松公式: u(m, t) r0(M’) 4a at at M ds at

二、求解 利用冲量原理，先 考虑无源问题： ï î ï í ì = = - D = = = | ( , ) | 0 0 2 t t t v f M v v a v t t t tt 由泊松公式： ] ( ) ( ) [ 4 1 ( , ) òò òò ¢ + ¢ ¶ ¶ = M at M at s s ds at M ds at M a t u M t y j p

可得: 1 v(M,t;)= f(M ds 4Ta sa(r) a(t-t) u(M, 0)=v(M, t; t)dr f(M’,) dsdτ 4Ta satt) a(t-t 父 a(t-t=r

可得： òò - - ¢ = M a t s ds a t f M a v M t ( ) ( ) ( , ) 4 1 ( , ; ) t t t p t t t t p t t t dsd a t f M a u M t v M t d t s t M a t ò òò ò - - ¢ = = 0 0 ( ) ( ) ( , ) 4 1 ( , ) ( , ; ) 令： a(t -t ) = r

d r 则:T=t- dτ 当τ:0→t,r:at>0 u(M,t)=I rat rr f(Mt-r dsdt ira Jo f(M, u dv 47a

则： a dr d a r t = t - ; t = - 当t : 0 ® t，r : at ® 0 dv r a r f M t a dsd r a r f M t a u M t M at M r T at s òòò ò òò ¢ - = ¢ - = ( , ) 4 1 ( , ) 4 1 ( , ) 2 0 p t p

三、物理意义 欲求M点处时刻的波动问题的解(M,t) 必须把以M点为球心,at为半径的球体 M内的源的影响都迭加起来。M点受到源 的影响的时刻,比源发出的时刻t-7 迟了,故称之为推迟势

三、物理意义 欲求M点处t时刻的波动问题的解 u(M ,t) 必须把以 M点为球心， at为半径的球体 Tat M内的源的影响都迭加起来。M点受到源 a r 的影响的时刻 t，比源发出的时刻 t - 迟了 ，故称之为推迟势。 a r

四、例题 求解波动问题: n-a2△n=2(y-) l|=0=0 =0=0 y 解: l=1+

四、例题 求解波动问题： ï î ï í ì = = - D = - = = | 0 | 0 2( ) 0 0 2 t t t tt u u u a u y t 解： (-¥ < x , y , z < ¥) I II 令 u = u + u

使 a △ 0 0 1=0=X yz C △ y 0 0

ïïîïïíì = + = - D = == u x yz uu a u t I t t I I I tt 2 00 2 || 0 0 ïïîïïíì == - D = - ==| 0 | 0 2 ( ) 00 2 t II t t II II II tt uuu a u y t 使：

利用泊松公式可求得: u(M, t)=x2t+=at'+ yst 由推迟势求u(M,)得: 2 y+rsin e sin o-( 1 47a r sin oddor= yt

利用泊松公式可求得： u M t x t a t yzt I = + + 2 2 3 3 1 ( , ) 3 sin 2 sin sin ( ) 4 1 3 2 2 0 2 0 0 2 t r dd dr yt r a r y r t a at × = - ú û ù ê ë é + - - ò ò ò q j q j p p p 由推迟势求 u II (M ,t)得：

所以: l(M,)=+l tx+rat t yt +t y

所以： I II u(M , t) = u + u 2 2 3 2 3 3 1 3 1 = tx + a t + ytz + t y - t