武汉大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第三章（3.5）正交曲线坐标系中的分离变量

§35正交曲线坐标系中的分离变量 △+=0 △=0 的重要地位: 在三类数理方程中,如果令 l(x,1)=7(n(x,y,-)<1 则波动方程u,-a2△M=0化为: (x,y2)-a27()△=0 T-a △p IT

§3.5 正交曲线坐标系中的分离变量 一、 î í ì D = D + = 0 0 u u lu 的重要地位： 在三类数理方程中，如果令： 则波动方程utt - a 2Du = 0化为： ( ) ( , , ) ( ) 0 2 T¢¢ t v x y z - a T t Dv = = -l D = ¢¢ v v a T T 2 u(x,t) = T(t)v(x, y,z)

从而得到 Jr+a2T=0 o2) v+v=0 此既是亥姆霍兹(He| hot z)方程 同样,将式<1代入热传导方程 D△u=0 可得到一个(的常微分方程和(x,y,z) 的亥姆霍兹方程: T′+DT=0 ∧v+y=0

从而得到： 此既是亥姆霍兹(Helmhot`z)方程。 同样，将式代入热传导方程 u - DDu = 0 t î í ì D + = ¢ + = 0 0 v v T D T l l î í ì D + = ¢¢ + = 0 0 2 v v T a T l l 可得到一个 的常微分方程和 的亥姆霍兹方程： T(t) v(x，y，z)

二、柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量 将式写为: △+=0 将柱坐标中的△表达式代入,得: 10,a、102u02u a(0 nu=o p dp p ap az 令: l(p,9,2)=R(p)(q)Z(

将式写为： Du + lu = 0 将柱坐标中的Du表达式代入，得： 0 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 + = ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ u z u u u l r r j r r r 令： u(r,j,z) = R(r)F(j)Z(z) 二、柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量

代入上式,得: Φzd,dR、Rea2z (p,)+ t Rg +2Rz=0 p dp dp p- do 两边乘以 并移项,得: RΦZ 1d。dR、1d (p)+ 2=102z pdppΦp2do2 R Z az2 要使上式成立,等式两边必是一个常数

代入上式，得： ( ) 0 2 2 2 2 2 + F = ¶ ¶ + F F + F R Z z Z R d Rz d d dR d z d l r r j r r r 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 z Z d Z d d dR d d R ¶ ¶ + = - F F + l r r j r r r 两边乘以 RFZ 1 并移项，得： 要使上式成立，等式两边必是一个常数

则 z"+1E=0 1d,dR、1dΦ Rpdpφm2×2 (p,)+ =0 对于后一方程,两边同乘以p p d dR ∠ 1a2Φ (p,)+p2(-p) r dp dp d02 上式若相等,则两边必为常数,故 令常数为n2

则： Z¢¢ + mZ = 0 0 1 ( ) 1 2 2 2 + - = F F + l m r r j r r r d d d dR d d R 对于后一方程，两边同乘以 2 r 2 2 2 1 ( ) ( ) j r l m r r r r d d d dR d d R F F + - = - 上式若相等，则两边必为常数，故 令常数为 2 n

则 ①"+n2①=0 d dr (p2,)+k2p 0 R dp dp 综上所述,解偏微分方程: △u=0 可令 l(P,,-)=R(p)d()Z(=)

则： ï î ï í ì + - = F¢¢ + F = ( ) 0 0 2 2 2 2 k n d dR d d R n r r r r r 综上所述，解偏微分方程： Du + lu = 0 可令： u(r,j,z) = R(r)F(j)Z(z)

则化为下列三个常微分方程: z"+1Z=0 ①"+nΦ=0 p3R+p+(k2p2-n)R=0、是常系数常微分方程,其 解易于求得,而方程是变系数常微分方程

则化为下列三个常微分方程： ï î ï í ì ¢¢ + ¢+ - = F¢¢ + F = ¢¢ + = ( ) 0 0 0 2 2 2 2 2 R R k n R n Z Z r r r m 其中 为分离变量过程中引入的常数要根据 边界条件取某些特定的值，分别称为方程、、 的本征值。方程、是常系数常微分方程，其 解易于求得，而方程是变系数常微分方程。 2 2 m、n 、k

作变换: x=kp y(x)=r(p) 则方程5>变为: xy”+x2+(x2-n2)y=0 称之为n阶贝塞耳( Besse)方程。 柱坐标系中拉普拉斯方程的分离变量 注意到拉普拉斯方程: △=0

作变换： x = kr y(x) = R(r) 则方程变为： ( ) 0 2 2 2 x y ¢¢ + xy ¢ + x - n y = 称之为n阶贝塞耳(Bessel)方程。 三、柱坐标系中拉普拉斯方程的分离变量 注意到拉普拉斯方程： Du = 0

是亥姆霍兹方程A+M=0当=0的特例 故可得: Z"+Z=0 Φ"+n2①=0 PR+pR'+ (k2p2-n)R=0 但其中:k2=0-4=-4 例:一个半径为a薄圆盘,上下两面绝热。 若已知圆盘边温度,求圆盘上的稳定温度分布

是亥姆霍兹方程Du + lu = 0当l = 0的特例 故可得： ï î ï í ì ¢¢ + ¢+ - = F¢¢ + F = ¢¢ + = ( ) 0 0 0 2 2 2 2 2 R R k n R n Z Z r r r m 但其中： = 0 - m = -m 2 k 例：一个半径为a薄圆盘，上下两面绝热。 若已知圆盘边温度，求圆盘上的稳定温度分布

解: 由于圆盘上下绝热,且为薄圆盘,且无热源存在 故其温度分布u(x+应满足 △=0,p 将极坐标系中△代入a>式,得 10,an、102 (P)+ =0<c p ap dp p dp 令:(2)=R(p0o)d

解： 由于圆盘上下绝热，且为薄圆盘，且无热源存在， 故其温度分布u(x,t)应满足： î í ì = D = 将极坐标系中 Du 代入式，得： 令： 0 1 ( ) 1 2 2 2 = ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ r r r r r r u u u(r,j) = R(r)F(j)