武汉大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第五章 格林函数（5.1）函数

§518函数 一、函数的引入 物理背景 0 ()金属线段 △m0x≠0 则密度:px)=1max=1 0x=0 p(r)ax 总质量m=1,集中在x=0处

§5.1 一、函数的引入 1、物理背景 d函数 (1)金属线段 总质量m =1,集中在x = 0处 ò ¥ -¥ D > = î í ì ¥ = ¹ = D D = ( ) 1 0 0 0 : ( ) lim 0 x dx x x x m x x r 则密度 r o 1 x

单位电荷 x=0 p(x)= 0x≠ 00 0x≠0 8(y 2、定义 δ函数 6(x-x0)dx=1

î í ì ¹ ¥ = = 0 0 0 ( ) x x r x 、定义 d函数 d d ï ï î ï ï í ì - = î í ì ¥ = ¹ = ò ¥ -¥ ( ) 1 0 0 0 ( ) 2 : x x0 dx x x x x = 0 单位电荷

0x≠ 6(x-x) 般 ∫( x-x0)x=1 结合上面实例δ-密度函数 若在x=x点放有m质量总质量m p(x =mo(x-xo)

ï ï î ï ï í ì - = î í ì ¥ = ¹ - = ò ¥ -¥ ( ) 1 0 ( ) : 0 0 0 0 x x dx x x x x x x d d 一般 ( ) ( ) x x , 0 0 x m x x m m = - = 则 r d 若在 点放有 质量 总质量 结合上面实例 d - 密度函数

x+E p(r)dx=m=lp(rdx x+C mo(x-x 6k=m=|6(x-x0)x Co p(r) mo(r 同样若在x=x放有电量q的点电荷, 其总电量为q,则p(x)=q6(x-x0)

ò ò ò ò + - ¥ -¥ ¥ -¥ + - - = = - = = e e e e d d r r x x x x m x x dx m x x dx x dx m x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 Q ( ) ( ) 0 \r x = md x - x q ( ) ( ) x x , 0 0 x q x x q = - = 其总电量为 ，则 r d 同样若在 放有电量 的点电荷

注意 (密度函数和点源函数 ()6-广义函数 、性质设f(x)在(-∞,0)连续,则 1、|f(x6(x-x0x=(x) f(x)6(x)=f(0)

广义函数 密度函数和点源函数 注意 (2)d - (1) : 设 f ( x )在 (-¥ , ¥ )连续 , 则 ( ) ( ) (0) 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 f x x f f x x x dx f x = - = ò ò ¥ -¥ ¥ -¥ d 、 d 0 x ( ) 0 d x - x 二、性质

x+C f(x)(x-xo lx=If(r) 8(x-xo dx f(5) x0-8<5<x+E 注意:δ也能表示连续分体的函数 f(t=f(o)8(t-tdt=f([)8(t-t di

e x e x d d e e - < < + = - = - ò ò + - ¥ -¥ x x f f x x x dx f x x x dx x x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Q 注意: d也能表示连续分体的函数 f t f t d t t dt f t d t t dt b ò òa = - = - ¥ -¥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2、若定义6(x)=8'(x)-6涵数的导数 d x 则(1)|f(x)6(x-x0)x=f(x) (2)x-x)6(x-x0)=-6(x-x0) (3)(x)6x-x)x=(-1)(x)

2、若定义 d (x) = d '(x) - d函数的导数 dx d (3) ( ) ( ) ( 1) ( ) (2)( ) '( ) ( ) (1) ( ) '( ) '( ) 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 f x x x dx f x x x x x x x f x x x dx f x n n n - = - - - = - - - = - ò ò ¥ -¥ ¥ - ¥ d d d 则 d

证()x(x-xk =|(xd6(x-x) f(x6(x-x6)120-/(x)6(x-x6)x f"(x0)

f x x x dx ò ¥ -¥ :(1) ( ) '( - ) 0 证 d '( ) ( ) ( ) | '( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 f x f x x x f x x x dx f x d x x = - = - - - = - ò ò ¥ -¥ ¥ -¥ ¥ -¥ d d d

判断函数相等的一种方法: 设f(x)与g(x)都是定义在(a,b)区间上的函数,若对于定 义在(a,b)区间上的任意连续函数g(x)都有如下等式成立: f(xo(r dr=l(r)p(r)dx 则必有:f(x)=g(x) 特别:若f(x1(x=0 则必有g(x)=0

判断函数相等的一种方法： : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x x dx g x x dx b a b a = = ò ò 则必有 j j ( ) 0 : ( ) ( ) 0 = = ò g x f x g x dx b a 则必有 特别 若 设 与 都是定义在 区间上的函数，若对于定 义在 区间上的任意连续函数 都有如下等式成立： f (x) g(x) (a，b) (a，b) g(x)

证:(2)设0(x)任意连续 ∫9(x)1(x=x) p(x)(x-x0) (x)x-x)+(x) h==-9p( 而(08(x=x=-9(0)

证 : (2)设j(x)任意连续 [ ] [ '( )( ) ( )] ( ) ( )( ) ( )( ) '( ) 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x x dx d x x x x x dx x x x x j j j j j d = - - + = - = - - - - = = ¥ -¥ 则 ò ( )[ ( )] ( ) 0 0 j x - d x - x dx = -j x ò ¥ -¥ 而