武汉大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第五章 留数定理（5.6）小结

本章小结 内的孤立奇点 i(-b)1)b单极点 1=-by/(小→阶极点 res b =C- imn-)dim C1b2→)本性奇点 (k=202-y)→(=2my(y)=c

本 章 小 结 ( ) å ( ) ò = = n k k l f z dz i f b 1 2p res l内的孤立奇点 ( ) ( ) ( ) 1 2 res ,res ® ò = ¥ ¥ = -C￾f z dz i f f l p ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( )] ï ï î ï ï í ì ® - ® - - = = - - = - ® - 本性奇点 阶极点 单极点 k z b k n n k n k k z b k C b z b f z b n dz d n z b f z b f b C k k , , 1! 1 lim , res 1 1 1 1

思想将实积分与一复变函数围道积分联系起来 视(的b复平面实轴上不含f(点的-段l 可体或补充-段或几段使+=闭合回路}或作变数变换 来步骤使实轴上的变为复平面中闭合回路 算)用留数定理计算/(k 分//k=2ey 头 积 +ul> rest la Im->0 Im=0 类典型实积分 典|2/0wpn1+2时L >0.,()=f(-x 积)3/(女=→1=+∑/- p>0,f(-x)=-f(x)

可 用 来 计 算 实 积 分 思想:将实积分与一复变函数围道积分联系起来 具体 步骤 几 类 典 型 实 积 分 1. ( ) [ , ] ( ) ; 1 f x dx a b f x l b a 视ò 的 为复平面实轴上不含 奇点的一段 2. ( ) , ; , 或补充一段 或几段 l 2 使l 1 + l 2 =闭合回路l 或作变数变换 使实轴上[a,b]变为复平面中闭合回路l. 3. ( ) . òl 用留数定理计算 f z dz ( ) ( ) ( ) Im 0 1 Im 0 1 1. 2 res res = = > = ¥ ò-¥ = å + å z m j j z n k k f x dx pi f b pi f a ( ) å [ ( ) ] å [ ( ) ] ò = = = > ¥ = + m k j z ipa j n k z ipz j f x pxdx i f z e i f a e Im 0 1 Im 0 0 res 2 2. cos res p p ( ) å [ ( ) ] å [ ( ) ] ò = = = > ¥ = + m j z ipa j n k z ipz j f x pxdx f z e f a e 1 Im 0 1 Im 0 0 res 2 3. sin res p p [p > 0, f (x) = f (- x)] [p > 0, f (- x) = - f (x)]

4∫ R(cost, sine ) de 2z+22-2 c==∠ureS iz(22 poo sInX a=,5 cOSX dx=l sinr drv2 丌 e cosbxax--e 丌 8-dx= << 01+x sina d x 2/ dtiy(x)(→ x-xo+18

( ) ( ) 1 2 0 1 1 1 2 res 2 , 2 1 4. cos ,sin ¥ - - ò a a e bxdx e a b ax p ,(0 1) 1 sin 8. 0 1 = < < + ò ¥ - a pa p a dx x x ( ) ( ) 9. . . ( ) (, 0) 0 0 0 ± ® - = - ò ò p e e dx i f x x x f x dx v p x x i f x b a b a m