武汉大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第四章（4.1）解析延拓

第四章解析延拓·『函数

第四章 解析延拓· Γ函数

§41解析延拓 一解析延拓 前 前面我们已经从微积分,级数等不同的 角度了解到解析函数具有很多优秀的性质,然 而解析都是对一定的点和区域而言的,婴儿人 们自然想到,若能通过某种方式将解析区域扩 大,那就能使解析函数的优越性在更大范围内 体现

§4.1 解析延拓 一.解析延拓 前言： 前面我们已经从微积分 ，级数等不同的 角度了解到解析函数具有很多优秀的性质，然 而解析都是对一定的点和区域而言的，婴儿人 们自然想到，若能通过某种方式将解析区域扩 大，那就能使解析函数的优越性在更大范围内 体现

我们说函数解析一定时指它在等区域或等 点解析。如, f1(z)=∑2,在|=k1中解 析 那么我们能否找到另一种形式的函数,使它在上 述区域以外的区域也解析呢?若能则解析函数 的定义域扩大了对于f(=)=∑:2k<1 k=0 确实存在一f(=) 在z=1均解析 而在z1中 f(=) ∑:=f(=2)

我们说函数解析一定时指它在等区域或等 点解析。如， 中解 析 那么我们能否找到另一种形式的函数,使它在上 述区域以外的区域也解析呢?若能则解析函数 的定义域扩大了.对于 确实存在一 在 均解析， ( ) , | | 1 0 1 = å < ¥ = f z z z k k 在 ( ) , | | 1 0 1 = å < ¥ = f z z z k k z f z - = 1 1 ( ) z = 1 ( ) 1 1 ( ) 1 0 1 z f z z f z k k = = - = å ¥ = 而在 |z|<1中:

所以,它将(z)的定义域扩大了我们称之为 解析延拓,即简单的说 解析延拓是解析函数的定义域的扩大 本章将学习解析延拓并在此基础上将物理上 有用的积分r(x)延拓为r(2)

所以，它将f(z)的定义域扩大了,我们称之为 解析延拓,即简单的说 解析延拓是解析函数的定义域的扩大. 本章将学习解析延拓并在此基础上将物理上 有用的积分г(x)延拓为г(z)

中心:解析延拓和『函数 目的: 1通过学习了解析函数的内唯一性定理,掌握 初等解析函数的值由它在实轴或实轴上一段的 值唯一确定(这将为后一章留数定理计算实积 分奠定基础) 2.r(z)的定义性质

中心：解析延拓和Γ函数 目的： 1.通过学习了解析函数的内唯一性定理，掌握 初等解析函数的值由它在实轴或实轴上一段的 值唯一确定（这将为后一章留数定理计算实积 分奠定基础） 2. г(z)的定义性质

解析延拓 1泰勒展开可将解析函数定义域扩大 例 设()=∑, 则f(-)在σ1zk中解析,在|z|>1 中发散 在1:k1:(2=1

一.解析延拓 1.泰勒展开可将解析函数定义域扩大 例： 2 1 1 ) 2 ( 1 1 | | 1 : ( ) ( ) :| | 1 | | 1 ( ) ,| | 1 1 1 1 1 0 1 i i f z z f z f z z z f z z z k k - \ = - = å < ¥ = 在 内 中发散 则 在 中解析，在 设 s

2(1-z)(-1) k+1

1 1 3 2 3 2 4 '' 1 2 2 2 ' 1 ) 2 (1 ! ) 2 ( ) 2 (1 2! | (1 ) 2! | (1 ) 2(1 )( 1) ) 2 ( (1 ) 1 | (1 ) 1 ) 2 ( + = = = = - = - - = - - - - = - = - = k k i z i z i z i i k f z z i i z f z z i f

令/2()=∑ ∑ 12-k RR=2 k+1 √9+4√13 f(2)=∑a(-2012-2k2 于是解析函数 f1()∈01|<1)f2(x)∈0 √5 k,且(∈5

2 13 2 3 0 2 3 3 2 5 2 ) 2 1 ( 2 ( 1 0 1 0 1 2 ( ) ( ) ,| | 2 13 2 9 4 | 2 ,| 2 2 (1 1 ! 2 ) 2 ( ( ) = - - < = + = - - < - = = - å å å ¥ = = + = ¥ = + ¥ = f z a z i z i R i z i z i i z k i f f z k k k R k k k k k k （ ） ） ） 令 （ ） 12 ( ) 2 ( ) 1 2 2 , 2 5 | 2 | :| | 1 ( ) 1 ( ) 1 s s s - < Î Î < ® Î f z f z i z f z z f z 且 于是解析函数

设f(二)在σ中解析,f2(z)在σ2中解析 在σ2=01∩σ2中,f(-)≡f2(z 则f(或1(z)2(2)f(2)的解析延拓 如上例中 f()=∑:2k1 k=0 为/2()=∑ k=0 的解析延拓,反之亦然

[ ] [ ] , . 2 2 (1 1 ( ) ( ) , | | 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) 0 1 2 0 1 1 2 2 1 12 1 2 1 2 1 1 2 2 的解析延拓 反之亦然 （ ） ） 为 如上例中 则 或 称 或 为的解析延拓 在 中， 设 在 中解析 在 中解析 k k k k k i z i f z f z z z f z f z f z f z f z f z f z f z - - = = < = Ç º å å ¥ = + ¥ = s s s s s

又如:在留数定理一章中,若f(×)在实轴上无奇 点,改写f(×)为f(2) 这实为,将解析函数在实轴上的值延拓到 全平面除f(z)的奇点的所有点 注意: (z)∈H( 推广:若|f(2)∈H(o f(z) 则f()为1(x)或/2(x)、3(x)]的解析函数

又如：在留数定理一章中，若f(x)在实轴上无奇 点，改写f(x)为f(z)。 这实为，将解析函数在实轴上的值延拓到 全平面除f(z)的奇点的所有点. 注意： 推广： 若 ï ï ï ï î ï ï ï ï í ì · · · · Î Î º ) 2 ( ) ( 2 ) 1 ( ) ( 1 ( ) s s f z H f z H f z 则 为 或 、 ( )...] 的解析函数 3 ( ) 2 ( )[ 1 f ( z ) f x f x f x