武汉大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第三章（3.3）罗朗级数

§34罗朗级数 在环形域内解析函数f()2唯-的幂级数朗级数 定义:∑c(=-b)→Lmm级数 它是T级数的推广 由前幂级数的形式和Abe定理我们知T级数存 在一收敛圆域|z-b|<R内的和函数是一解析函 数且在|z-b|<R内绝对收敛,在其较小的同心闭 圆|z-b|<p<R内一致收敛

§3.4罗朗级数 在环形域内解析函数 ( ) (唯一的幂级数 )罗朗级数 ¬ f z ® 定义： c (z b ) Laurant 级数 k k å k - ® ¥ = -¥ 它是T级数的推广 由前幂级数的形式和Able定理我们知T级数存 在一收敛圆域│z-b │ <R内的和函数是一解析函 数,且在│z-b│<R内绝对收敛，在其较小的同心闭 圆│z-b│<ρ<R内一致收敛

定理 罗朗级数存在一收敛环域K<|z-b<R在收敛 环域K<|z-b|<R内的和函数是一解析函数且在其较 小的同心闭环域r≤|zb|≤R(r<R<R)上一致 收敛。 ∑c(=-b)=∑c(=-b)+∑c(=-b) 对于∑c(=-b):在2-b<R内绝对收敛 在z-b≤R<R上一致收敛且和函数f(2)解析

一、定理 罗朗级数存在一收敛环域r<│z-b │ <R,在收敛 环域r<│z-b│<R内的和函数是一解析函数,且在其较 小的同心闭环域r`≤│z-b│ ≤ R` (r<r`<R`<R)上一致 收敛。 å ( ) å ( ) å ( ) ¥ = - =-¥ ¥ = -¥ - = - + - 0 1 k k k k k k k k k c z b c z b c z b 对于 c (z b ) 在 R内绝对收敛 k k å k - < ¥ = : z - b 0 在 z - b £ R¢ < R上一致收敛且和函数 f1 (z)解析

对于立时21=:10 在7绝对收敛 2b|≥r′>r-致收敛 综上所述: 在公共区域r<z-b<R中L级数绝对收敛 在其内较小闭环域r<r'≤z=b≤R<R内一致收敛

( ) ( ) ÷ ø ö ç è æ - å - = å - = å = ¥ = - - ¥ = - - -¥ =- z b c z b c z b c k k k k k k k k k 1 1 1 1 对于 x x , 1 在 上绝对收敛 r x - = -¥ z - b ³ r ¢ > r一致收敛 综上所述： 在公共区域 r < z - b < R中 L级数绝对收敛 , 在其内较小闭环域 r < r ¢ £ z - b £ R¢ < R内一致收敛

对于在圆域内解析的函数我们知有T展开定理, 对于在环域内的解析函数我们将证明有L展开定理

对于在圆域内解析的函数我们知有T展开定理， 对于在环域内的解析函数我们将证明有L展开定理

Laurant展开定理 若f(在r<z-b<R内解析,则 f(4)=∑c(=-b),r<2-b<R k 1,f() d z 2rii(z-b k+1 1:-b=p、(<r<p<R<R b=R′<R 2:=-b

二、Laurant展开定理 若 f (z )在 r r 2

则在r'<z-b<R内 R f() f() 2丌i 1 ∑ (-b b5-z5-b-(2-b)k -b)

则在 r ¢ < z - b < R ¢内 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ú û ù ê ë é - - - = ò ò 2 1 2 1 l l d z f d z f i f z x x x x x x p ( ) ( ) ( ) å ¥ = + - - = - - - = - < - - 0 1 1 1 1 : 1, k k k b z b b z b z b z b l x x x x b r r¢ R 2 l 1 l

-b,1 令(k+ e-b ∑ +1 f(=)= ∑5 f() 2l-(-by+5-b(=-by ∑ f(E 丌l 2i(-b)

z b z b (z b) b l - - - = - < - - x x x 1 1 : 1, 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) å å -¥ =- + ¥ + = = + - - = - - = - - - × - - = 1 1 1 0 1 1 1 1 s s s k s k k k b z b z b b z b z b b x x x 令 f (z ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ú û ù ê ë é × - - × - + - å ò å ò -¥ = - + ¥ = + 1 1 0 1 2 1 2 1 k k l k k k l k d z b b f d z b b f i x x x x x x p ( ) ( ) å ( ) ò ¥ = + × - - = 0 1 2 1 1 k k l k d z b b f i x x x p ( ) ( ) å ( ) ò -¥ = - + × - - + 1 1 2 2 1 k k l k d z b b f i x x x p

16/(G ∑c(-b)其中c=5 (-b) +1 注意 ①展开中心b不一定是函数的奇点 如由例2我们将看到 ∑(-)2<< 其L展级数以z=0微奇点,但z)在z=0却是解析的,事 实上是L展开定理并未涉及f(z)在z=b是否解析的问题

å ( ) ¥ = -¥ = - k k c k z b ( ) ( ) ò + - = 2 1 2 1 l k k d b f i c x x x p 其中 注意: ①展开中心b不一定是函数的奇点 如由例2我们将看到 ( ) ( )( ) å ( ) ¥ = - = - - - = 1 1 1 2 1 1 2 1 k k k z z z f z 2 < z < ¥ 其L展级数以z=0微奇点，但f(z)在z=0却是解析的，事 实上是L展开定理并未涉及f(z)在z=b是否解析的问题

f(() ②展开系数公式Ck≠ f(=)在-b<R中总是有奇点的, 若z=b为f()点则f(b不存在 ∑c(=-b) 唯一性:设不唯一则z= ∑ck(2-b)

②展开系数公式 ( ) ( ) k ! f b c k k ¹ Q f (z)在 z - b < R中总是有奇点的 , ( ) ( ) 若 z = b为 f z 奇点则 f k (b )不存在 唯一性：设不唯一则f(z)= å ( ) ¥ = -¥ = - k k ck z b å ( ) ¥ = -¥ - ¢ = k k k c z b

收敛范围 设a和a为f()两个相邻的奇点则 ∑c4(=-b)在-b1l-b包括a=b)收敛,如 f()

三、收敛范围 设a和 a¢为f (z)的两个相邻的奇点 ,则 c (z b ) a b z b a b k k å k - - a - b 包括 a = b )中收敛 ,如 ( ) ( ) 则 ÷ ø ö ç è æ - - = 2 3 1 1 z z z f z