武汉大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第三章（3.1）复级数

§31复级数 复数项级数 1级数定义 2敛散定义 3研究方法 4收敛的充要条件 >0,3K(K>0)当k>K有 k+1k +2 <E,D∈ 自然数 5收敛的必要条件1m=0

§3.1复级数 一、复数项级数 1.级数定义 2.敛散定义 3.研究方法 4.收敛的充要条件 "e > 0, $K (K > 0),当k > K有 Fk+ p - Fk = f k+1 + f k +2 + ...+ f k + p < e , pÎ自然数 5.收敛的必要条件 lim = 0 ®¥ k k f

6.绝对收敛 (1)定义 (2)性质 (3)绝对收敛的级数,可任意交换其各项的次序,所得 级数仍绝对收敛且其和不变 (4)两个绝对收敛的级数可逐项相乘,所得级数仍绝 对收敛 x∑k=ah++4)+++a+ k=0k=0

6.绝对收敛 (1).定义 (2).性质 (3).绝对收敛的级数，可任意交换其各项的次序，所得 级数仍绝对收敛且其和不变 (4).两个绝对收敛的级数可逐项相乘，所得级数仍绝 对收敛 ( ) [ ] ... 0 0 1 0 0 1 0 2 1 1 2 0 0 0 å ×å = + + + + + + ¥ = ¥ = a b a b ab a b a b ab a b k k k k

b 6. b 西9b2a1b3 3b a,b,a, b a,b (5)比值[达朗贝尔 D' Alembert)判别法 K(K>0)当k>K有 A<p(p<则∑/绝对收敛 k=0

M 3 3 0 3 1 3 2 3 3 2 2 0 2 1 2 2 2 3 1 1 0 1 1 1 2 1 3 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 1 2 3 ... a a b a b a b a b a a b a b a b a b a a b a b a b a b a a b a b a b a b b b b b (5).比值[达朗贝尔(D’Alembert)]判别法 "K (K > 0),当 k > K有 ( ) 则 å 绝对收敛 ¥ = + < < 0 1 1 , k k k k f f f r r

绝对收敛 若!m=2则当>1}∑/{发散 k=0 不定 (6)高斯[ Gauss]判别法 一k +0 k+1 则当ReH>1∑绝对收敛 则当ReHs1∑f发散 注:以上论述对复函数项级数均成立

ï î ï í ì ï þ ï ý ü = > 0 Re 1 k k m f 则当 å 发散 ¥ = £ 0 Re 1 k k m f 注:以上论述对复函数项级数均成立

复变函数项级数 1定义: 2一致收敛 1)定义 对在σ上的∑f()V>0,N=NG)当k>N k=0 有F()-F()则∑在σ上一致收敛于F( k=0 )收敛的充要条件 E>0,3N=NGl)>0.使k>N

二、复变函数项级数 1.定义: 2.一致收敛 (1).定义 f ( )z N N ( ) k N k å k " > $ = > ¥ = 对在 上的 0, ,当 0 s e e F ( )z F ( ) r f F ( )z k 有 k e 则 å k在 s上一致收敛于 ¥ = - 0, $N = N (e ) > 0,使k > N

有|F k+p 3.性质 致收敛 )若在a内/(连续且∑f()=F(=) k=0 则F()亦在σ内连续记f()→F(=) 致收敛 2)若在G内(续且∑/)=F() k=0 则F(k=∑J( k=0

- < e 有 Fk + p Fk 3.性质 ( ) f ( )z f ( )z F ( )z k k k 一致收敛 若在 内 连续且 å = ¥ = 0 1 . s 则 F (z)亦在 s内连续 记 f (z )Þ F (z ) ( ) f ( )z f ( )z F ( )z k k k 一致收敛 若在 内 连续且 å = ¥ = 0 2 . s ( ) å ( ) ò ò ¥ = = k 0 l k l 则 F z dz f z dz

3)若在a内/(廨析, 一致收敛 在G上(∈0)f()=F() 则在G内FG廨解析且F()=∑f() 若在内f()≤MA(M>0且∑M收敛 k=0 f(=)对一致收敛 k=0

(3).若在 s内f k (z)解析， ( ) f ( )z F ( )z k k 一致收敛 在 ¢上 ¢ Î å = ¥ =0 s s s ( ) ( )( ) ( ) å ( ) ¥ = = k 0 n k n 则在 s内 F z 解析且 F z f z ( ) ( ) ( ) å ¥ = £ > 0 4 . 0 k k M k M k M k 若在 s内 f z 且 收敛 å ( ) ¥ k = 0 k f z 绝对一致收敛

前三条性质与一致收敛的实函数项的级数所 具有的相应性质完全一样,第四条性质存在的条件与 相应的实函数项级数的性质有所不同这里引入了函数 解析性的概念 证明函数解析的途径: a/定义;b/充要条件;c/不定积分定理; d/ auchy型积分;e/ Morena定理 Mem定理:/(在G内连续/(k=0则(廨解析

前三条性质与一致收敛的实函数项的级数所 具有的相应性质完全一样，第四条性质存在的条件与 相应的实函数项级数的性质有所不同这里引入了函数 解析性的概念 证明函数解析的途径： a/定义;b/充要条件;c/不定积分定理; d/Cauchy型积分;e/Morena定理 定理 f (z)在 内连续 f (z)dz 则f (z)解析 l k Morena : = 0 ò s

对照条件,试用 Morena定理 证明 在a上一致收敛 f(=在G内解析连续且∑f(=) F i故由性质(F(在σ上连续(C0 注意:0′∈和σ的任意性∴F(在内连续 iF(k=∑(=0 ∵由i,i)根据 Morena定理有F(z)在0内解析

对照条件，试用Morena定理 证明： f ( )z f ( )z F ( )z k k k 在 上一致收敛 在 内解析连续且 s s ¥ ¢ = å = 0 Q i.故由性质 (3)， F (z)在 s ¢上连续 注意 :s ¢ Î s和 s ¢的任意性 \ F (z)在 s内连续 s ¢ l s ( ) ( ) ii. ( ) 0 0 3 = å = ò ò ¥ k = l k l F z dz f z dz 由 ∴由i),ii)根据Morena定理有F(z)在σ内解析

又F()=m F() 2πi(2-z ∑f) k=0 +1 ds 2 Ti ∑ k=02i n+1 d=∑f(=)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ò å ò + ¥ = + - = - = l n k k l n n d z f i n d z F i n F z x x x p x x x p 1 0 1 2 ! 2 ! 又 ( ) ( ) ( ) å å ( ) ò ¥ = ¥ = + = - = 0 0 1 2 ! k n k l n k d f z z f i n x x x p