武汉大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第五章 留数定理（5.5）多值函数的积分

§54多值函数的积分 由于留数定理是对在内除有有限个 孤立奇点外单值解析的函数适用。 故用留数计算多值函数积分时, 必须首先划出单值区域, 再对每一单值区域计算积分:

§5.4多值函数的积分 由于留数定理是对在l内除有有限个 孤立奇点外单值解析的函数适用。 故用留数计算多值函数积分时， 必须首先划出单值区域， 再对每一单值区域计算积分：

x x,(0∞沿正实轴作割线,划出单值区域 2选如图所示路径 R

,(0 1) 1 1 0 < < + - ò ¥ a a dx x x 一、 ( ) ,0 1 1 1 1 1 1 = < < + = - - - a a a a z z z z f z \ f (z )的支点：0, ¥ ;奇点 : z = - 1 1.从 0 ® ¥沿正实轴作割线，划出 单值区域 e c e R c R 2.选如图所示路径

xe d z 1+x FR1+z Ⅱ i2丌 a E re i2丌 (2)+2-=2zs()-1 1+x ⅣV R→0 当 x E→)0 01+x x已 i2丌(a-1) d x +x

( ) ( ) ò ò + + + - - R i c R i e i dz z z d xe x xe 1 1 1 0 1 0 0 a e a 则 ( ) ( ) 2 res [ ( ), 1] 1 1 1 2 1 2 2 = - + + + + ò ò - - dz i f z z z d xe x xe R c i e i i p e p a e p a p Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 当 时 î í ì ® ® ¥ e 0 R ( ) ò ¥ - - + = - 0 1 2 1 1 dx x x e a i p a Ⅲ ò ¥ - + = 0 1 1 dx x x a Ⅰ

R 2丌R 2丌R R→∞ 1+ R-1 R-1 a Ⅳs dz≤ 2丌R →>0 +Z (+1) a e (a-1)x d x= 2ie iT(a-1) 1+x

0 1 2 2 1 1 1 1 ¾ ¾¾ ® - × = - £ + £ ® ¥ - - ò R c R R R R R dz z z R a a a p Ⅱ p ò ¾¾ ®¾ - × = - £ + £ ® - - e e a a a e pe p e e c dz R z z 0 1 2 2 1 1 0 1 1 Ⅳ ( ) ( ) i a i z e e z z z a p p a - - - ® - = = ú û ù ê ë é + = + × 1 1 1 1 Ⅴ lim 1 ( ) [ ] ( 1) 0 1 2 1 2 1 1 - ¥ - - = + \ - ò p a a p a p i i dx ie x x e

x 丌e 2兀i dx 1+ i2(a i丌(a +e(a-1) 丌 丌 Sn兀(c sIn TO 注意:由于是多值函数,一定要注意幅角的 变化 虽然e(0+2) 0 但 (0+2丌) n≠e,当a≠n时

( ) 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 0 1 2 1 2 1 - - - - - ¥ - + = - = + ò p a p a p a a p a p p i i i i e e i e ie dx x x ( ) pa p p a p sin 1 sin = - = - 注意：由于是多值函数，一定要注意幅角的 变化。 ( ) , i 0 2 n i 0 e = e 虽然 + p Q 但 e i (0 + 2 p )a = e i 2 pa ¹ e i 0 ,当 a ¹ n 时