武汉大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第一章 非线性方程（1.2）孤波

§2、孤波 Kdv 孤波——单峰行进、常速、波形不变 1、Kdv的产生:1834:苏格兰: Scott. Russel 追踪水波97 Scott的叙述为:“我正在观察一条船的运动,这条 船被两匹马拉着,沿着狭窄的河道迅速前进,船突然 停止了,河道内被船体扰动的水团却没有停下来,而 是以剧烈受激的状态聚集在船头周围,然后形成了 个巨大的圆而光滑的孤立水峰,突然离开船头以极大

§2、孤波 一、Kdv 孤波---单峰行进、常速、波形不变 1、Kdv的产生：1834：苏格兰：Scott.Russel 追踪水波 (P397) Scott的叙述为：“我正在观察一条船的运动，这条 船被两匹马拉着，沿着狭窄的河道迅速前进，船突然 停止了，河道内被船体扰动的水团却没有停下来，而 是以剧烈受激的状态聚集在船头周围，然后形成了一 个巨大的圆而光滑的孤立水峰，突然离开船头以极大

的速度向前推进,这水峰若有30英尺长,1^1.5英尺 高,在河道中行进时一直保持着起初的形状,速度以未 见减慢,我骑着马跟着,发觉它大约以每小时89英里 的速度前进,后来波的高度渐渐减小,过了12英里之 后,终于消失在河道中,这就是我在1834年8月看到的 一奇异而美妙现象

的速度向前推进，这水峰若有30英尺长，1~1.5英尺 高，在河道中行进时一直保持着起初的形状，速度以未 见减慢，我骑着马跟着，发觉它大约以每小时8~9英里 的速度前进,后来波的高度渐渐减小,过了1~2英里之 后，终于消失在河道中，这就是我在1834年8月看到的 一奇异而美妙现象

1895:荷兰,科特维格 Korteweg和德弗罗斯 devries 浅水沟波动方程 12172387+;y2+02 0n3g0 32)(201 77 (-深,t-表面张力,p-密度) 3 gP 2a C g 令1=8au , c= XT= 则1+12+121l=0(202)

1895:荷兰，科特维格Kortweg和德弗罗斯deVries 浅水沟波动方程 ) (2.01) 3 1 2 1 3 2 ( 2 3 2 2 2 x ga l x g t ¶ ¶ + + ¶ ¶ = ¶ ¶ h h h s h ( , , ) 3 3 = - -深 -表面张力 r -密度 r s l t g l Tl t l u x x g 2 1 3 2 1 2 1 2 , 2 , 2 8 , ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ = ø ö ç è æ ÷ = ø ö ç è æ = = s a t s a z s a 令h a z + +12 + = 0 (2.02) 则 ut uz uuz uzzz

§2、孤波 KdV方程 l4+2+1212=0(2) u=u θ=a-0+δ行波解() 其中a、δ为任意常数δ为相位因子 O为依附于a的常数

§2、孤波 一、KdV方程 + +12 + = 0 (2) ut uz uuz uzzz (3) ( ) 令 - 行波解 î í ì = - + = q z wt d q a u u 为依附于 的常数 其中 、 为任意常数 为相位因子 a a w d .d

01bal1+12+abe=0」 12 0-a 90 为方便见、取O-=1即o=a2+a(4) 12 则m l-l6=0(5) (5)d0:|0d0+-2|ud-|a=0 0 0+=22-+C1=0(6)

[ ] 0 12 12 0 2 3 3 = - + - - + + + = qqq q q q q q qqq w w u a a uu a u u au auu a u 即 1 (4) 3 3 a a a a = = + - w w 为方便见、取 即 0 (5) 12 2 qqq + uuq -uq = a 则u ò ò ò ò + - = ¶ ¶ 0 12 (5) : 2 udu du a d u d q q q qq 0 (6) 6 1 2 2 + u - u + C = a uqq

6)·L2dO 6 du- udu+c du=0 l2+Cl+C,=0 0→时u→00→0 代入上式得:C1=C2=0 uo=u

0 6 (6) : 1 2 2 + - + = × ò ò ò ò ò u du udu C du a u du u d q q q q 0 2 2 1 2 1 1 2 3 2 2 2 + u - u +C u +C = a uq 0, 0 Qq ® ¥时 u ® u (n) ® : 0 代入上式得 C1 = C2 = ( )ú û ù ê ë é = - = - a u a u u a u u 4 4 2 2 2 3 2 2 2 q

4 分离变量 adu de 1(a2-4 积分:=ln √a2-4l a+va-4u 2u-aa2-4 a+√a2-4 2 Que + 2u ava2-42

a u a u u 4 2 q = - dq u a u adu = - 4 : 2 分离变量 a a u a a u 4 4 : ln 2 2 + - - - 积分 q = u a u a a u a a u a a u e 2 2 4 4 4 2 2 2 2 - - - ú ú û ù ê ê ë é = + - - - = q 2ue 2u a a a 4u 2 2 + - = - - q

两边平方整理得:l= 090 +1) e6+1+2 +e+2 sech (e2+e2) sech'5-(1+a)t+ 4

2 2 ( 1) : + = q q e a e 两边平方整理得 u 2 1 1 2 2 1 2 + + = × ú û ù ê ë é + + = × q q q -q e e a e e a 2 sec 4 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 q q q h a e e a = + = × - [ (1 ) ] 2 sec 4 2 2 2 a a a h a d = z - + t +

常数:1+a2如同达氏:qx-a小 振幅:可见峰高、速大、波宽 二、正弦戈登( Gordon)方程 x-dn=sn(l炀场 [最早1958、非线性场方程,现已在超短脉冲、超 导性及非线性量子学等方面广泛应用] 为了便于积分求解,类似于用行波法求解

[ ] 振幅 可见峰高、速大、波宽 常数 如同 达氏 4 : :1 : : ( ) 2 2 a + a j x - at 二、正弦戈登(Gordon)方程 Fxx -Ftt = sinf (1)场 [最早1958、非线性场方程，现已在超短脉冲、超 导性及非线性量子学等方面广泛应用] 为了便于积分求解，类似于用行波法求解

L.-a2u=0 引入变换 x+at 使41-alm=0→bn=0一样 x-at X+t 1引入变换:5 则()→更n=sid (3) =(x)+v(:)(4) =以(5,)-v,/5)(3)的线性独立解 既然①,①共轭,则v和必有关系可互用函数表示 考虑(,)和(,)表示的方程

引入变换： 0 2 utt - a uxx = 使 - 2 = 0 ® = 0 一样 î í ì = - = + zh h z u a u u x at x at tt xx (1) sin (3) (2) 2 , 2 1 F F z t ® zh = + = - = 则 、引入变换： x t x t 令 (3)的线性独立解 ( , ) ( , ) (5) ( , ) ( , ) (4) - î í ì = - = + F z t z t F z t z t u v u v 考虑 和 表示的方程 既然 共轭 则 和 必有关系 可互用函数表示 ( , ) ( , ) , , , z t z t F F u v v u