《高等代数与解析几何》课程教学资源（讲义）第二章行列式

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行列式是多元一次方程组(线性方程组)求解中产生的.现在它不仅是解线性方程组的工具,也是线性代数以及别的数学分支,物理学中常用工具,行列式的概念很简单关键是计算行列式的技巧及应用行列式的灵活性.这是要特别注意的。

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第二章行列式行列式是多元一次方程组(线性方程组)求解中产生的,现在它不仅是解线性方程组的工具,也是线性代数以及别的数学分支,物理学中常用工具.行列式的概念很简单.关键是计算行列式的技巧及应用行列式的灵活性.这是要特别注意的

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2.1矩阵在数域P中取mn数,将它们排成m(横行(row),n(竖列( column)的长方阵(将第讠行,第j列的元素( entry),记为ij),再加上括号,即有 C 2 我们称它为P上的一个m×n矩阵( matrix).通常用一个英文大写字母,例如A表示,从上到下的各行依次叫第1行, 并记为row1A,,, rowm A;从左到右的各列依次叫第1 列, 第列,并记为col1A, olnA;矩阵中每个数,也叫做矩阵的元素,第行,第j列处的数(元素)j,也记为 entia P上的m×矩阵A与kxl矩阵B叫做相等,如果满足1)m=k,n=2)emt;jA eItB,1≤≤m,1≤j≤n.也就是说A,B是一样的只有一行的矩阵称为行矩阵;只有一列的矩阵称为列矩阵个”×?的矩阵叫做阶方阵.7阶方阵 10 01 其中 tij In = di 0,;≠, 称为7阶单位矩阵例1矩阵的第2行,第3列与第2行第3列的元素分别为 013A ent 23A=3 设A是一个m×的矩阵 21 49

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将A的第1行,第2行,,第m行顺次竖排成第1列,第2列,,第列,得到另一个矩阵称为A的转置.常记为A(或A) 显然A是矩阵.且与A有以下关系: A,1≤<,1≤j≤ rowiD"=(olA),1≤i≤m; Dl; A'=(row; A) 而且,若个nXm矩阵B与A有上述关系之一,则B=A,另外两个关系也成立例2矩阵的转置为 21 为叙述方便,我们介绍三个术语以及表示它们的符号 1.若将矩阵A的第讠行(第j列)的每个元素都乘以数k,而其它元素不变,所得的矩阵称为 A的第行(第j列乘k,记为Akr;(Akc).于是A与Akr;有下面关系 (hent; A 第二个等式右边简记为krow;A,于是 TOw 7i Ari= k rowi A 类似地Akx;与A有下面关系 olA,l≠j; k A 例3设A 46则

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123 242 2.将矩阵A的第i行(列)加上第j行(列)的k倍,而其它行(列)(包括第j行(列)不变,即A的第i行(列)的每个元素加上第j行(列)对应元素的k倍.这样得到的矩阵记为A;+kr (A;+kx).于是 A,l≠ 我们将上式右边记为rowA+ k row A.于是类似地,有 hx 其中 entli A+kent A col: A+kcl; A t 2i A+ kent 2jA 例4对于例3中的A,有 000 309 369 246},A 369 将矩阵A的第i行(列)与第j行(列)互换,其余行(列)不动,所得的矩阵记为Ax (Acg;),即有 rowlArir;=row1A,l≠,j 类似地, A,l≠1,j; olj Ac 51

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例5对于例3中,A,有 132 A 定义1设A,一个矩阵称Akr;≠014r+k;4 rir; Akc;b≠01r4e+k;r4g 为A经过-j初等行列,变换得到,阵k初等。变换,初等4变换,统标初等变换

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2.2行列式中学课.中已经介绍过23阶s3r及其在23元一)2线性方.组中应用我们在23阶3 基础上用归纳方法定义一般)阶方阵1,s3r,记为为t1或|1 若1=2,1为1阶方阵,则将,叫做1,33r,即为t1=, 我们知道2阶33r为为 12.3 12e3+le2,3+en,2l3,,le2l3,11,2e3,ell2,3 e2a|,2/12 我们可以依定义列阶,5阶,…方阵,33rk一般假定),1阶方阵,33r已经定义了k 对于一个)阶方阵 A W, HW, Ah 划去et;1所在,s2第4s1与所在, 831后封一个),1阶方阵 44,44Wy,4 k,s3rtij叫做ent;1, 用余子r,语言,上面zr3阶33r可以写成由此我们用归纳方法定义)阶方阵,33rk

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定rA阶,阵A=1c22行j为 A=是22是即果·A阶:阵/行已过定义,则·阶:阵A/行了定义为是 nt2;A2 M. 等中M2;方eIt2A余子,即划道A第A行,第r8后对得 A阶,阵,行例A设A方 1角方 222 即<r假, entia A=0+则 e·=A假,划后成立、设·A假划后成立、于方 0 由行,定义知为tA=题是因而划后成立定理A)A个,12阶,陈则为etA Sapient a A2假,定,显:成立、假设·A假定,成立设A为·阶阵,且enm4=c+ 于方

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由于M1j是7-1阶(方阵的)行列式,且A的第i行(≥2)去掉aij之后为M1的第-1 行.因而由归纳假设有 ∑(-1)a1(M)n 其中(M1)i1是A划去第1行,第i行,第j列与第1列后所得的7-2阶方阵的行列式,即 G+1j-1G+1j+1 an2 an j+ 另一方面,M1也是7-1阶方阵的行列式而且A的第了列去掉a之后是M1的第j-1 列.因而由行列式的定义有其中(Mn1)1是A去掉第行,第1行,第1列与第j列后所得的"-2阶方阵的行列式,由此因而,我们有 ∑(-1)+a;Mn 2 a1M1+ (-1)+an1a1;(M1)n 于是定理对任何7≥2都成立例2设A是一个n阶上三角方阵即miA=0当>j时,则dA=emA 证利用定理1及例1的办法即可

D7 ( . DI 1G F.D@AE* ) FD & G8+ ( ,9 (.. DI 1G F.DB@ ) DI & G8+ (DH F. 7B8HJ 03 . * ! ( E, K E2 IB LAB

7阶方+ 1222 从左上角到右下角叫主对角线或简称对角线a其上元素一a-220.ann称为对角线上元素或对角元素如A满足(时 0a即则称A为对角矩阵且记为 A=diag(中22中中n7 此时,deM=-.-22

( $#J%$!J! HE , HE )$ HE , H E * %( E 2 HE . HE

(n行列式的性质按行列式的定义来计算行列式往往很复杂,因而需0研究行列式的1质,以便简化计算性质A若A为方+A的转置.则 de用4=de用证对A的阶数作归纳证明.阶为显然此1质成立.设阶为7-A时成立.讨论A的阶为n 是1是于是 =1 其中M1为7-A阶方+的行列式,于是是j1是 MI 是是是是是j1是是是是是是最后,个恰为A的元素e用14的余子式M1·而e用1A=en用A=是;于是由定理A知 ∑(-M+是 a a ce用41 因而1质A仍成立.故1质A对任何7成立此1质说明,行列式中行与列处于平等地位.因此对于行的1质,可自然变为列的1质.下面只叙述对于行的1质.主0考察初等变换对行列式的影响性质2行列式中两行互换行列式变号.即 de用4 de用4

>>?MIJ NB@KLLOKF.LMMNÆ P / 342 8 ( O@APN( /-HN3*( E3OG ( * 7 ) (7 QG!P $ 8B . 7DB A F.N Q3QN 8HJ 3 HN'N&(7R)5RFH87NBS-2N!9*50 87NTSR=)2:8UV 29:2

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