武汉大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）绪论

绪论 发展史 复变函数理论被人誉为19世纪最独特 的创造,这个新的数学分支统治了19世纪。几 乎象微积分的直接扩展统治了18世纪那样,曾 被称为19世纪的数学享受,也曾被称为抽象科 学最和谐的理论之一

一、发展史： 绪 论 复变函数理论被人誉为19世纪最独特 的创造，这个新的数学分支统治了19世纪。几 乎象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，曾 被称为19世纪的数学享受，也曾被称为抽象科 学最和谐的理论之一

复变函数理论中最重要的内容是解析函数。 解析函数不仅对数学自身的发展起了重大作用, 而且在理论物理、空气动力学、流体力学、天体 物理、弹性理论及其工程技术中也有广泛的应用。 所以本篇研究的中心问题是解析函数的问题 由于复变函数是定义在复数集上的,为 此在学习时我们首先需要复习有关复数的概念

复变函数理论中最重要的内容是解析函数。 解析函数不仅对数学自身的发展起了重大作用， 而且在理论物理、空气动力学、流体力学、天体 物理、弹性理论及其工程技术中也有广泛的应用。 所以本篇研究的中心问题是解析函数的问题 由于复变函数是定义在复数集上的，为 此在学习时我们首先需要复习有关复数的概念

二、复变函数的内容: 1、将“实函”中,函数、极限、连续、微商、 积分、级数推广至“复函”中 2、解除了实数领域中若千禁令: 21 实函:不存在不存在1C (a=x) 复函:±21gi214h

二、复变函数的内容： １、将“实函”中, 函数、极限、连续、微商、 积分、级数推广至“复函”中； ２、解除了实数领域中若干禁令： ±i 2 ³ < 1, 1 实函: （ａ＝ｘ） 复函: （ａ＝ｚ） -2 lg(-1) cos sin a a a e 不存在 不存在 £1 x x b e e + ¹ lg1+ip z i k2 e + p

3、建立了三角函数和指数函数,双曲函数的关系 e=co0sx± ISIn x sin( ix)=ish, cos( ix )=chx

３、建立了三角函数和指数函数，双曲函数 的关系： ix ishx ix chx e x i x ix = = = ± ± sin( ) , cos( ) cos sin

三、复变函数的应用: 1、解偏微分方程的边值问题,如:保角变换法、 复变函数法; 2、解偏微分方程的初值问题,如:积分变换法、 行波法; 3、计算实积分,如:留数定理

三、复变函数的应用： 1、解偏微分方程的边值问题，如：保角变换法、 复变函数法； 2、解偏微分方程的初值问题，如：积分变换法、 行波法； 3、计算实积分，如：留数定理

§1.1复数及其运算 复数概念: 1定义z=(x,y)=x+iy 2=X-1y 2.性质 1/=x+ Z2=X2+1y2 y1=y2

§1.1 复数及其运算 一、复数概念： z (x, ) y x iy z x iy = = + = - ìï = + í ï = + î ïì = = Û í ï = î uuuuuur 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 z x iy z x iy x x z z y y 1. 定义 2. 性质 (1)

)z无大小:z>2或z1<1 都是错误的。 (3)R(a,b,c)=R(a 复数的表示 1、几何表示: (1)点 (2)向量:Oz (3)极坐(p,):p

二、复数的表示： 1、几何表示： (3) R (a， b， c ) = R (abc ， ， ，...) r j uur (2) ： (3) ( , ) : 向 量 oz 极 坐 > < 或 。 1 2 1 2 (2) z 大小： z z z z 都是 的 j r 无 错误 (1) 点 z

(=x+y)co+ ipsen o→三角式 指数式 p=vx+y 模 o=Arct= Argz →多值 例题:1、2=1+1求=? 2、见书上例题一

2 2 ( ) cos sin i z x iy i e x y z y Arctg Argz x j r j r j r r j = + = + = = + = = = 三角式 模 数 → → → → 指 式 多值 例题： 1、z =1 ? + = i z 求 2、见书 题 上例 一

解1:x=1,y=1 =x+y2=2 argz =arctg=arctg Agz=+2k丌(k=土1,±2,…) 问题:若0<ag≤2m,如何用ag表示agz?

2 2 1, 1 2 1 2 ( 1, 2, ) 4 : x y z x y y argz arctg arctg x Argz k k p p = = \ = + = = = = + = ± ± ××× 解 1 若0 < £ 2p , ? 如何用a 表示a y argz rctg rgz x 问题：

问题答案 arct=,x>0,y>0 丌-arcg,x0 合:crgz= 兀+aceg,x0,y<0 x

问题答案 , 0, 0 - , 0, 0 , 0, 0 2 - , 0, 0 y arctg x y x y arctg x y x argz y arctg x y x y arctg x y x p p p > > = + < ì ï ï ï ïï í ï ï ï ï ïî 答：