武汉大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第一章 非线性方程

第四篇非线性方程和积分方程 第一章非线性方程 到此为止我们已经学习了有关解二阶线性偏微分方程 的各种解法。我们已看到这些解法都是以线性迭加原理为 基础的(分离变量法的解是求和,可数个的迭加;而行波 法、格林函数法、积分变换法的解是积分,不可数的连续 的累加)因此这些解法对于求解非线性方程显然不够用

第四篇非线性方程和积分方程 第一章 非线性方程 到此为止我们已经学习了有关解二阶线性偏微分方程 的各种解法。我们已看到这些解法都是以线性迭加原理为 基础的（分离变量法的解是求和，可数个的迭加；而行波 法、格林函数法、积分变换法的解是积分，不可数的连续 的累加）因此这些解法对于求解非线性方程显然不够用

然而力学和许多物理问题就其本来面貌而言 都是非线性,线性化只是它的初步近似,虽然具 有重要的理论和实践价值,但许多物理现象如果 不考虑非线性效应就无法加以解释。如近年来涉 及物理学许多领域的孤立子效应所满足的就是非 线性方程;激光物理、等离子体物理中的湍流、 混沌等现象也满足非线性方程。 除了一阶偏微分方程以外,非线性方程能够 求精确解通常局限于下面两种情况

然而力学和许多物理问题就其本来面貌而言 都是非线性，线性化只是它的初步近似，虽然具 有重要的理论和实践价值，但许多物理现象如果 不考虑非线性效应就无法加以解释。如近年来涉 及物理学许多领域的孤立子效应所满足的就是非 线性方程；激光物理、等离子体物理中的湍流、 混沌等现象也满足非线性方程。 除了一阶偏微分方程以外，非线性方程能够 求精确解通常局限于下面两种情况

1、非线性偏微方程具有相似解或行波解 即解依赖于自变量的幂次组合如令 =l() Is=xtg 和线性组合(如令u=u(2),=x+t) 从而减少自变量的个数, 从而使求解的难度大为降低

1、非线性偏微方程具有相似解或行波解 î í ì = = α β ξ x t u u(ξ) 即解依赖于自变量的幂次组合如令 从而使求解的难度大为 降低 从而减少自变量的个数 ， 和线性组合(如令 u = u(ξ),ξ = x+ at)

2、对若千类似线性方程或方程组,已发展了某些 自变量和未知函数的一些变换(如 Kirchhoff变 换、cole-Hopf变换、端迹变换等) 从而将非线性偏微分方程化为线性偏微分方程求解。 下面介绍几种常用的初等解法

2、对若干类似线性方程或方程组，已发展了某些 自变量和未知函数的一些变换（如Kirchhoff变 换、cole – Hopf变换、端迹变换等） 从而将非线性偏微分方程化为线性偏微分方程求解。 下面介绍几种常用的初等解法