《线性代数》第2讲 行列式的计算、克菜姆法则

线性代数第2讲 行列式的计算,克菜姆法则 2021/2/20

2021/2/20 1 线性代数第2讲 行列式的计算, 克莱姆法则

例1上三角行列式(>时,an=0) 12 C D 22 2 11022 0 这是因为上三角行列式的转置是下三 角行列式 2021/2/20

2021/2/20 2 例1 上三角行列式(i>j时, aij=0) 这是因为上三角行列式的转置是下三 角行列式. 11 12 1 22 2 11 22 0 n n nn nn a a a a a D a a a a = =

例2计算4阶行列式 D 1242 解 1-1211-12 D 24201 545 3 2021/2/20

2021/2/20 3 例2 计算4阶行列式 1 1 1 2 1 1 4 1 2 4 6 1 1 2 4 2 D − −−− = − 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 4 1 0 0 5 3 2 4 6 1 0 2 4 3 1 2 4 2 0 1 5 0 D − − − − − − = = − − − 解

11-12 1-12 00-53②<④0150 D 02-4-3 02-4-3 0150 12 ③+②×(-2)0150 00-14-3 00-53 2021/2/20

2021/2/20 4 2 4 3 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 0 5 3 0 1 5 0 0 2 4 3 0 2 4 3 0 1 5 0 0 0 5 3 1 1 1 2 ( 2) 0 1 5 0 0 0 14 3 0 0 5 3 D − − −  = − − − − − − − +  − − − − −

1-12 015 00-14 03 00-53 2 ④+③× 14 00-14 00057/14 (-1)×1×1×(-14)×(57/14)=57 5 2021/2/20

2021/2/20 5 4 3 1 1 1 2 0 1 5 0 0 0 14 3 0 0 5 3 5 1 1 1 2 14 0 1 5 0 0 0 14 3 0 0 0 57/14 ( 1) 1 1 ( 14) (57 /14) 57 − = − − − − −   +  −    − − − = −    −  =

例3 14-14-70-17-8 2143|214 D 4231100-5 352 3092309 7-17-8 (-1)2×1x|0-55 392 6 2021/2/20

2021/2/20 6 例3 2 2 1 4 1 4 7 0 17 8 2 1 4 3 2 1 4 3 4 2 3 11 0 0 5 5 3 0 9 2 3 0 9 2 7 17 8 ( 1) 1 0 5 5 3 9 2 D + − − − − = = − − − − = −   −

17-8 25 D 703 703 112 =(-1)2×5 213 25 11 5×(-77+75)=10 7 2021/2/20

2021/2/20 7 2 1 7 17 8 7 25 8 0 5 5 0 0 5 3 9 2 3 11 2 7 25 ( 1) 5 3 11 5 ( 77 75) 10 D + − − − − − − = − = − − = −   = −  − + =

例4行列式D=14an的元素满足an=an (i=1,2,,n),就称D是反对称行列式,证明奇 数阶反对称行列式的值为零 证设 2 13 0 D 23 2 ● -a 0 en 将D转置再每一行都乘-1. 8 2021/2/20

2021/2/20 8 例4 行列式D= 的元素满足aij=−aji (i,j=1,2,...,n), 就称D是反对称行列式, 证明奇 数阶反对称行列式的值为零. 证 设 1 | |n ij a 12 13 1 12 23 2 1 2 3 0 0 0 n n n n n a a a a a a D a a a − = − − − 将D转置再每一行都乘−1

0 13 D 12 3n 12 13 3 (-1)D 0 D→D=0 9 2021/2/20

2021/2/20 9 12 13 1 12 23 2 1 2 3 12 13 1 12 23 2 1 2 3 0 0 0 0 0 ( 1) 0 0 n n n n n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a a a a D a a a D D − = − − − − − − − − = = − = −  =

例5证明 +bb1+ C1+a1 a tb b+ +a=2la b +b3b3+ +a 证把左端行列式的第2,3列加到第1列,提取 公因子2,再把第1列乘-1加到第2,3列得 a1+b1+c1 b b 左式=2a2+b2+C2-a b,|=2 b a3+b3+c3-a3-b b 右式 2021/2/20

2021/2/20 10 例5 证明 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c +++ + + + = +++ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 a b c a b c a b a b c a b c a b a b c a b c a b + + − − = + + − − = + + − − = 左式 右式 证 把左端行列式的第2,3列加到第1列,提取 公因子2,再把第1列乘−1加到第2,3列得