华南农业大学：《数值分析》 第三章 解线性方程组的直接法

第三章解线性方程组的直接法 a1x1+a12X+…+a1nXn= +a2nxn= 2 1x1+a,x2+…+ax 简记作AX=B(A|≠0) 12 b 其中A= n B=

第三章 解线性方程组的直接法 其中 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , , . n n n n nn n n a a a x b a a a x b A X B a a a x b                   = = =                   简记作 AX B A =  (| | 0)

■低阶稠密线性方程组 ■大型稀疏方程组 ■线性方程组AX=B的一般数值解法 1.直接法:通过有限步精确运算求得方程组的精确解 (存在舍入误差)。适用于低阶稠密方程组 消元法 主元素法 2.迭代法:通过构造迭代方程组进行迭代 简单迭代法 适用于大型稀疏方程组 ·赛德尔迭代法

◼ 低阶稠密线性方程组 ◼ 大型稀疏方程组 ◼ 线性方程组AX=B的一般数值解法： 1. 直接法：通过有限步精确运算求得方程组的精确解 （存在舍入误差）。 • 消元法 • 主元素法 2. 迭代法：通过构造迭代方程组进行迭代。 • 简单迭代法 • 赛德尔迭代法 适用于低阶稠密方程组 适用于大型稀疏方程组

§1消元法 2x1+x2+x3 7(1) 例解方程组{4x1+5x2-x3=11(2) 2+x3=0(3) 解①消元:消去(2)3式中含x1的项 (2)-2(1):(4-2×2)x1+(5-2×1)x2+(-1-2×1)x3=11-2×7 2*(3)-(1):(2×1-2)x1+(2x(-1)-1)x2+(2×1-1)x3=0×2一7 3x2-3x3=-3(4 -3x2+x3=-7(5)

§1 消元法 例 解方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 7 (1) 4 5 11 (2) 0 (3) x x x x x x x x x  + + =   + − =  − + =  解 ① 消元：消去(2)(3)式中含x1的项 1 2 3 1 2 3 (2) 2*(1) : (4 2 2) (5 2 1) ( 1 2 1) 11 2 7 2*(3) (1) : (2 1 2) (2 ( 1) 1) (2 1 1) 0 2 7 x x x x x x − −  + −  + − −  = −  −  − +  − − +  − =  − 2 3 2 3 3 3 3 (4) 3 7 (5) x x x x − = − − + = − 即

消去(5)式中含x2的项,得-2x3=-10(6) 2x1+x2+x3=7(1) 得同解方程组3x2-3x=3(4 2x3=-10() ②回代 s=(-10)/(-2)=5 (-3+3x3)/3=(-3+3×5)/ )/2=(7-4-5)2=

② 回代： ( ) ( ) 3 x = − − = 10 2 5 x x 2 3 = − + = − +  = ( 3 3 3 3 3 5 3 4 ) ( ) x x x 1 2 3 = − − = − − = − (7 2 7 4 5 2 1 ) ( ) 得同解方程组 1 2 3 2 3 3 2 7 (1) 3 3 3 (4) 2 10 (6) x x x x x x  + + =   − = −  − = −  消去(5)式中含x2的项，得 3 − = − 2 10 (6) x

1、消元法的一般描述(以n=3为例) x,+ax fax 111 a21x1+a2x2+a23x3=b2 tax 22 +aax L1x1+l412x2+l43x3=2 ①消元 L2x,+l2X2=二2 得到三角形 线性方程组 l22X2=2 3/33 ②回代{x2=(2-l2x3)/n2 解出未知量 x1=(21-42x2-213x3)/41

1、消元法的一般描述（以n=3为例） ① 消元 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + =   + + =   + + = ② 回代 11 1 12 2 13 3 1 22 2 23 3 2 33 3 3 u x u x u x z u x u x z u x z  + + =   + =   = 3 3 33 2 2 23 3 22 1 1 12 2 13 3 11 ( ) ( ) x z u x z u x u x z u x u x u  =   = −   = − − 得到三角形 线性方程组 解出未知量

(1)消元计算过程 1x1+a12x2+a13x3=b1( 13-43 121X1+a2x2+a23x a31x1+a2x2+a23x2=b2(3) ①(1)式两端同除以常数l1,得 x1+12x2+l 2 343 其中 13 2 13 引入参数l1=1,n=,消去2(3)式中含x的项

（1）消元计算过程 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 (1) (2) (3) a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + =   + + =   + + = ① (1)式两端同除以常数 l 11 ，得 11 1 12 2 13 3 1 u x u x u x z + + = (4) 其中 11 12 1 13 11 12 13 1 11 11 11 11 , , , , a a b a u u u z l l l l = = = = 引入参数 消去(2)(3)式中含x1的项 21 31 21 31 11 11 , , a a l l u u = =

(2)-21(4):0+(a2-l2412)x2+(a2 21133 211 (3)-l3:(4):0+(a32-l31412)x2+(a3-l343)x3=b3-l c+a (1)y二 简记为 23~3 b2 ng212+agx3=b(6) 1)二x(0) 其中 1)n1(0) (0)

21 22 21 12 2 23 21 13 3 2 21 1 31 32 31 12 2 33 31 13 3 3 31 1 (2) (4) : 0 ( ) ( ) (3) (4) : 0 ( ) ( ) l a l u x a l u x b l z l a l u x a l u x b l z −  + − + − = − −  + − + − = − 简记为 (1) (1) (1) 22 2 23 3 2 (1) (1) (1) 32 2 33 3 3 (5) (6) a x a x b a x a x b  + =  + =  其中 (1) (0) 1 1 (1) (0) 1 1 (0) (0) , ij ij i j i i i ij ij i i a a l u b b l z a a b b  = −   = −  = = 

②对(5)(6)式组成的方程组消元: (5)式两端分别同除以常数l2,得 l2x2+l23x3=2(7) 其中2= 2 2112 3 23 3 bo b-l 引入参数12=2=22-42,消去(6)式中含x的项 22 2 (6)-l2(7):0+(a3 32233 322

② 对(5)(6)式组成的方程组消元： (5)式两端分别同除以常数 l 22 ，得 22 2 23 3 2 u x u x z + = (7) 其中 (1) (1) 22 22 21 12 23 23 21 13 22 23 22 22 22 22 , , a a l u a a l u u u l l l l − − = = = = 引入参数 消去(6)式中含x2的项 (1) 32 32 31 12 32 22 22 , a a l u l u u − = = (1) 2 2 21 1 2 22 22 , b b l z z l l − = = (1) (1) 32 33 32 23 3 3 32 2 (6) (7) : 0 ( ) −  + − = − l a l u x b l z

简记为 (2) x3=b3 2)(8) (2) 其中 (2) 322 311 322 ③(8)式两端同除以常数l2,得 3343 (9) (2) 331133223 33 其中 2)

简记为 (2) (2) 33 3 3 a x b = (8) 其中 (2) (1) 33 33 32 23 33 31 13 32 23 (2) (1) 3 3 32 2 3 31 1 32 2 a a l u a l u l u b b l z b l z l z  = − = − −  = − = − −  33 3 3 u x z = (9) ③ (8)式两端同除以常数 l 33 ，得 其中 (2) 33 33 31 13 32 23 33 33 33 (2) 3 3 31 1 32 2 3 33 33 , , a a l u l u u l l b b l z l z z l l  − −  = =    − − = =  

消元过程结束,得到三角形线性方程组 11x1+12x2+13x3=51 uoaxfuoax =z 简记为UX=Z 2 其中U=0a2l23,X=x2,2z=2 00

消元过程结束，得到三角形线性方程组 其中 UX Z= 11 1 12 2 13 3 1 22 2 23 3 2 33 3 3 u x u x u x z u x u x z u x z  + + =   + =   = 简记为 11 12 13 1 1 22 23 2 2 33 3 3 0 , , 0 0 u u u x z U u u X x Z z u x z             = = =                  